陶桂平微积分分部积分习题解答及例题.docVIP

分部积分法与有理函数积分习题解答与补充例题 一、总结：分部积分法的积分流程为 使用分部积分法的关键是将恰当地凑成的形式，其遵循的一般原则是： （1）中容易凑微分的那部分挖出与凑成；（2）要容易积分； 常见有三种类型： 类型 与的选取 1 ，，注：可推广到多项式 选为， 将，，凑成 2 ，（） ，，， 选，反三角函数为， 将凑成， 3 ， 循环积分法：与（或）任选一个为，余下的凑，用两次分部积分，（两次的选取应一致，即两次均选为，或两次均选（或）为），得到所求积分的方程，解方程即得。 注：（1）一般地，若幂函数碰到不易凑微分的函数如对数函数和反三角函数时，幂函数凑，幂函数碰到易凑微分的函数如三角函数，指数函数时，幂函数为，其它函数凑。 （2）当被积函数中含有根式或复杂形式时，可以先借助换元法化简积分，再考虑用分部积分。 （3）多次运用分部积分公式时，有时会出现待求的不定积分，即出现了循环，得到一个方程式，求解方程得，制造这种循环也是求不定积分的一种方法。 二、课后习题点评（P172 第四题） 4、（1）与（2）为分部积分的第二种类型，直接分部积分。 （3）与（4）为分部积分的第一种类型，多项式为，其它凑。 （5）与（6）类似，幂函数碰到易凑微分的三角函数，幂函数为。 （7） 注：直接凑不易观察时，可以分步凑微分， (8) 利用三角函数的降幂公式化为分部积分的第一类型 （9）属于分部积分的第一类型 （10） 化为分部积分的第一类型 （11） 化为分部积分的第一类型 （12）化为分部积分的第三类型，用循环积分法。 （13）分部积分的第二类型，直接分部积分 （14），化为分部积分的第二类型 （15）建立所求积分的方程，解方程。 ， 所以。 （16）化为分部积分的第二类型 （17）分部积分的第二类型 （18） （19），化简被积函数，借助分母有理化，再积分 （20），（直接观察出原函数），或 或 注：第二种方法是将积分化为两部分，其中一部分用分部积分公式，得到的积分恰好与第二部分抵消（两个相同的积分抵消后结果是一个任意的常数）。 （21）与（22）为分部积分的第二类型 （23）直接分部积分 （24）为分部积分的第二类型，，再用分部积分 （25）直接用分部积分，注意 （26）注意 （27）先通过换元化简积分，化为分部积分的第二类型 （28） 或（29），再用分部积分即可，为第一类型的分部积分 （30），转化为分部积分的第三类型，用循环积分法 所以，再代入即得原积分。 补充练习：（1）；（2）；（3）； （4） 解答（1） 或 （2） 或者 （3） （4） 二、有理函数积分课后习题点评（P172 第五题） 5（6） （7） （8） 或 注：对于次数较高的有理真分式函数的积分，一般不是直接分解为部分分式，而是尽可能先将被积函数拆项分解，再采用凑微分法或变量替换法。