全国初中数学竞赛辅导(初3) 第13讲 圆的基本性质.docVIP

第十三讲 圆的基本性质 　　在课内同学们已学了圆的许多基本性质，在此基础上，我们再补充一些与圆有关的性质． §13．1圆内角与圆外角 　　与圆有关的角我们学习过圆心角、圆周角、弦切角以及它们的大小与它们所对(或夹)的弧的度数之间的关系． 　　如果角的顶点在圆内，则称这样的角为圆内角，如图3－28中的∠APB即为圆内角．圆内角的大小究竟与弧有何关系呢？延长AP，BP分别交圆于C，D两点，再连结AD，则∠APB=∠A+∠D．因为 所以 即圆内角的度数等于它和它的对顶角所对的两弧度数和的一半，其中圆心角是特殊的圆内角． 　 　　如果角的顶点在圆外，且角的两边都与同一个圆相交，则称这样的角为圆外角，如图3－29中的∠APB即为圆外角，圆外角的度数与它所夹两弧的度数有关．连结AD，则∠P=∠CAD-∠D．因为 所以 即圆外角的度数等于它所夹两弧度数差的一半． §13．2圆内接多边形　　　1 　　在前一讲中我们介绍了正弦定理，利用三角形的外接圆不但可以证明正弦定理，而且还能得出更完满的结果． 　 　　如图3－30所示．设⊙O为△ABC的外接圆，⊙O的半径为R，连接BO并延长交⊙O于A′，连结A′C，则∠A=∠A′，且∠A′CB=90°，所以 　 　 上面这个等式就是正弦定理，它说明任意一个三角形中，一边与其所对的角的正弦值之比都等于该三角形的外接圆的直径．　 　　23－31中A，B，C，A′在圆O上，则∠A=∠A′．这个性质的逆命题就是四点共圆的判定定理，即具有公共边的且同侧公共边所对的角相等的两个三角形共圆，如图3－32所示．△ABC与△A′BC中∠A=∠A′，则A，B，C，A′四点共圆． §13．3圆外切多边形的性质及判定　 　　1 　　如图3－33所示，⊙O是△ABC的内切圆，D，E，F为切点，设内切圆半径为r，连接AO，BO，CO，则有 　 　 　 　　若△ABC为直角三角形，如图3－34所示，⊙I为其内切圆，D，E，F为切点．由切线长定理知，AD=AF，BD=BE，CE=CF，所以有 AC+BC-AB=CF+CE． 又因为四边形IECF是边长为r的正方形，所以 CF+CE=2r， 　　即直角三角形内切圆半径等于两直角边之和与斜边差的一半．　 　　2AD+BC=AB+CD(如图3－35所示)． 　 　　若圆外切四边形是梯形，则圆外切梯形两底和等于两腰和．特别地，圆外切等腰梯形的腰长等于中位线的长(如图3－36所示)． 　 　　我们知道，任意一个三角形既有外接圆也有内切圆，但是任意一个四边形不一定有外接圆，也不一定有内切圆，只有两组对边和相等的四边形才有内切圆． 　　下面通过例题，进一步说明与圆有关的常见的一些问题的思路和解法． 　　例1 已知⊙O的半径r=4，AB，CD为⊙O的两条弦，AB，CD的长分别是方程 的两根，其中AB＞CD，且AB∥CD．求AB与CD间的距离． 　　分析 解一元二次方程求得方程两根，从而得出弦AB与CD的长，由弦长及半径可求出每条弦的弦心距．若AB，CD位于圆心同侧，则两弦间距离等于弦心距的差；若AB，CD位于圆心异侧，则两弦间距离等于弦心距之和． 　　解 由方程 　　　　　　　　　　 所以 　　　　　 　　作OF⊥CD于F，因为AB∥CD，所以OF⊥AB，设垂足为E． 　　(1)AB，CD位于圆心O的同侧(图3－37(a))，则AB与CD间的 　 　 　 　　(2)AB，CD位于圆心O的异侧(图3－37(b))，则AB与CD间的距离 　　说明 (1)垂径定理在与弦长有关的计算或证明中是经常使用的，应注意． 　　(2) 　　 　　例2 已知△ABC内接于⊙O，∠B=60°，AD是直径，过D点 　　分析 在△ABC中，只知道AB的长度及∠B的大小，是无法确定BC的长的．因为AD是直径，DE是⊙O的切线，所以DE⊥AD．若连接DC，则∠ADC=∠B=60°，且∠DCE=90°，∠CDE=30°，这样△DCE可解，求出DE边以后可利用切割线定理求出AC的长，或者求出DC边后利用射影定理求出AC，这样由△ABC可解出BC的长． 　　解 连结DC．因为AD为⊙O的直径，DE切⊙O于D，所以 AD⊥DE，∠ACD=90°． 又因为 ∠ADC=∠B=60°， 所以　　　　　　　　　　　　　　　　∠CDE=90°-60°=30°． 　 　 因为 DC2=AC×CE(射影定理)， 在△ABC中，根据余弦定理有 AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cosB． 设BC=x，则 22+x2-4x·cos60°=6， 整理得 x2-2x-2=0， 　 　　说明 本题已知条件中虽然给出了两条线段的长度及一个角的大小，但是这些已知量没有集中在同一个三角形中，所以图中各个三角形都无法求解，这时应通过作适当的辅助线，将这些已知