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例9-3 求C偏左横截面上a、b两点的主应力大小及主平面方位。Iz= 88×106mm4。 1.6m 0.4m B A C 270 15 15 9 120 解: 1. C偏左横截面正应力和切应力分布规律如图所示。a点处的应力为 270 15 15 9 120 b点的应力为 其中 2.围绕a点用两个相邻横截面和两个与中性层平行的相邻纵截面取出一单元体。 O C B 3.围绕b点用两个相邻横截面和两个与中性层平行的相邻纵截面取出一单元体。 O 例9-4 图a所示单元体已知 , , 求主应力的值及主平面方位。 解:按选定的比例尺,确定 两点,画出应力圆如图b所示。 C (b) 由x轴逆时针转18.5°确定 的方向。主平面如图a所示。 (a) 例9-5 图(a)所示单元体的 , , 试利用应力圆求 和 。 O 垂直平分线 故 故 (a) 练习:试用应力圆求该点的主应力及主平面方位。 O C 应力圆中D1到D2应该转240° §8-3 三向应力状态的应力圆 首先考察与s2主平面垂直的任意斜截面abcd上的应力。其分离体如图b所示。∵s2所在的两个平面上的力是自相平衡力系,∴abcd斜截面的应力s和t与s2无关,仅由s1和s3来决定。因而这类截面上的应力s和t可由s1和s3所确定的应力圆上点的坐标来表示(图c)。 (a) a b c d (b) a b c d A1 A3 A2 (c) O 同理,与s1(或s3 )主平面垂直的任一斜截面上的 应力,可由s2、s3(或s1、s2 )所确定的应力圆上点的坐标来表示 A1 A3 A2 (c) O B (a) 从图(c)可以看出:最大应力圆上A1及A3点的横坐标s1及s3就分别代表单元体中的最大及最小正应力,即 (9-6) 而最大应力圆上B点的纵坐标即该圆的半径就代表单元体的最大切应力,即 (9-7) tmax作用面: 与s2主平面垂直且与 和 的主平面各成 角 (d) (9-6)、(9-7)式同样适用于平面应力状态和单向应力状态 * * * 第九章 应力状态分析 §9-2 平面应力状态分析 §9-4 应力和应变间的关系 §9-3 三向应力状态的应力圆 §9-5 平面应力状态下由测点处的线应变求应力 目 录 §9-1 一点处的应力状态 §9-1 一点处的应力状态 一 基本变形下的横截面上应力回顾 拉(压)杆横截面上的应力: 横截面上只有正应力,且均匀分布 计算公式: 等直圆杆扭转时横截面上的应力: Me Me m m m-m截面上的应力 横截面上只有切应力,呈线性分布 计算公式: (圆周上各点) 梁横力弯曲时横截面上的应力: m-m截面上的弯曲切应力 m-m截面上的弯曲正应力 M 一般情况下横截面上既有正应力,又有切应力。 计算公式: 引例:试分析图(a)所示受扭圆轴表面上a点处各个方向上的应力。 a 横截面上a点的切应力 dx dy O2 O1 a a dx dy dz O2 O1 二 一点处应力状态的概念 d a (a) · 为了研究a点处各个方向的应力,围绕a点取一个各边长均为无限小的六面体(称为单元体)。 dx dy dz 周向面 横截面 径向截面 单元体 a 单元体性质: (2)相互平行面上的应力大小、性质分别相同。 (1)单元体各面上的应力均匀分布; a dx dy dz a dx dy dz a 单元体四个面上只存在切应力而无正应力,这种应力状态称为纯剪切应力状态。 简化为平面形式 a 利用 经整理后得到 (1) (2) 由(1)、(2)式,可以求出单元体各个截面上的应力。(即a点处各个方向上的应力) 定义:构件内一点处各个方向上的应力集合,称为该点处的应力状态。 三 研究一点处的应力状态的目的 (1) (2) x 低碳钢 Me Me 铸铁 Me Me 通过应力状态分析:可以确定最大正应力和最大切应力值及其所在截面方位,由此可以分析材料发生强度破坏的原因。 四 主平面和主应力的概念 (1) (2) x 由(1)式和(2)式得: 主应力:主平面上的正应力。 主平面:切应力等于零的平面; 纯剪切应力状态, 的斜截面为主平面, 、 为主应力 弹性力学可以证明 主单元体
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