2011湖南数学高考试题及答案.doc

2011年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学(湖南卷) 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．若a，bR，i为虚数单位，且(a＋i)i＝b＋i，则(　　) A．a＝1，b＝1 B．a＝－1，b＝1 C．a＝－1，b＝－1 D．a＝1，b＝－1 2．设集合M＝{1，2}，N＝{a2}，则“a＝1”是“NM”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 3．如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为…(　　) A．π＋12 B．π＋18 C．9π＋42 D．36π＋18 4．通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表： 男 女 总计 爱好 40 20 60 不爱好 20 30 50 总计 60 50 110 由算得，. 附表： P(K2≥k) 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 参照附表，得到的正确结论是(　　) A．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关” B．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关” C．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关” D．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关” 5．设双曲线的渐近线方程为3x±2y＝0，则a的值为(　　) A．4 B．3 C．2 D．1 6．由直线与曲线y＝cos x所围成的封闭图形的面积为(　　) A． B．1 C． D． 7．设m＞1，在约束条件下，目标函数z＝x＋my的最大值小于2，则m的取值范围为(　　) A． B． C．(1，3) D．(3，＋∞) 8．设直线x＝t与函数的图象分别交于点M，N，则当|MN|达到最小时t的值为(　　) A．1 B． C． D． 二、填空题：本大题共8小题，考生作答7小题，每小题5分，共35分． (一)选做题(请考生在第 9，10，11三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题记分．) 9．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为，(α为参数)．在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴)中，曲线C2的方程为ρ(cos θ－sin θ)＋1＝0，则C1与C2的交点个数为______． 10．设x，yR，且xy≠0，则的最小值为______． 11．如图，A，E是半圆周上的两个三等分点，直径BC＝4，ADBC，垂足为D，BE与AD相交于点F，则AF的长为______． (二)必做题(12～16题) 12．设Sn是等差数列{an}(nN*)的前n项和，且a1＝1，a4＝7，则S5＝______. 13．若执行如图所示的框图，输入，则输出的数等于______． 14．在边长为1的正三角形ABC中，设，则______. 15．如图，EFGH是以O为圆心、半径为1的圆的内接正方形．将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A表示事件“豆子落在正方形EFGH内”，B表示事件“豆子落在扇形OHE(阴影部分)内”，则 (1)P(A)＝______； (2)P(B|A)＝______. 16．对于nN*，将n表示为，当i＝0时，ai＝1，当时，ai为0或1.记I(n)为上述表示中ai为0的个数(例如：1＝1×20，4＝1×22＋0×21＋0×20，故I(1)＝0，I(4)＝2)，则 (1)I(12)＝______； (2) ______. 三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足csin A＝acos C． (1)求角C的大小； (2)求的最大值，并求取得最大值时角A，B的大小． 18．某商店试销某种商品20天，获得如下数据： 日销售量(件) 0 1 2 3 频数 1 5 9 5 试销结束后(假设该商品的日销售量的分布规律不变)，设某天开始营业时有该商品3件，当天营业结束后检查存货．若发现存量少于2件，则当天进货补充至3件，否则不进货．将频率视为概率． (1)求当天商店不进货的概率； (2)记X为第二天开始营业时该商品的件数．求X的分布列和数学期望． 19．如图，在圆锥PO中，已知的直径的中点． (1)证明：平面POD平面PAC； (2)求二面角BPAC的余弦值． 20．如图，长方体物体E在雨中沿面P(面积为S)的垂直方向作匀速移动，速度为v(v＞0)，雨速沿E移动方向的分速度为c(cR)．E移动时单位时间内的淋雨量