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最小二乘配置法在向下延拓中的应用 一、最小二乘配置模型 配置也称拟合推估，最初是指组合各种资料来研究地球形状与重力场的一种方法，，其理论有Krarup于1969年提出，Moritz在此后对最小二乘配置进行了深入研究，根据重力场逼近，提出了带系统参数的最小二乘配置。在地球形状重力场的研究中，配置的普遍形式是在其函数模型中除包含随机部分外还含有非随机的系统部分。在数学模型中，既含有倾向参数Y，又包含有信号X,这种同时求定不考虑随机性的倾向参数Y和具有随机性信号的最优估值方法，就是最小二乘配置法。 最小二乘配置的数学模型为： (2.1) 其中为观测向量，为系数矩阵，为系统参数，为观测噪声，为信号的系数矩阵，为单位阵，，其中为已测重力信号，为未测重力信号。 随机模型为： (2.2) 其中，为观测值的自协方差，为已测重力信号的自协方差。 误差方程为： (2.3) 根据最小二乘原理： （2.4） 其中，为和的权阵， 可以求得各参数的解的公式。 系统参数的解为： (2.5) 已测重力异常信号为： (2.6) 未测重力异常信号为： (2.7) 其中为未测重力异常与已测重力异常喜好的互协方差矩阵，(2.7)为应用最小二乘配置模型进行向下延拓的公式。 通常情况下，利用最小二乘配置方法推估地球重力场未知点重力异常值时可以选择没有，观测向量且可以不顾及已知重力异常的随机误差，所以未测点的重力异常推估公式为： (2.8) 二、局部重力场异常协方差函数的构建 在进行局部重力场协方差函数确定时，不需要用到全球重力协方差函数，只需考虑局部地区的扰动重力场，在有限的区域内球面可以近似成平面。此时重力异常的协方差函数只是点和点之间水平距离的函数，即： 这个函数可用是哪个基本参数表示，方差、相关长度和曲率参数 为协方差函数在的数值，可有观测值均方差求得， 相关长度表示协方差是对应的值，的大小体现了计算区域内重力相关程度，进行重力异常推估时，通常只有在的范围内才可以取得很好的效果。 曲率参数是一个与处协方差曲线的曲率相关的量。 在实际应用中，要求所有的协方差矩阵应为正定矩阵，所以协方差函数也为正定函数，在作为局部重力场协方差函数通常选高斯函数： （1）求解协方差函数的另一种方法，和重力点加密中最小二乘配置法的协方差函数相同，只是空间重力协方差函数选择Moriz的重力异常协方差函数：、 ，两点高程值和，为要求常数，为两点的水平距离，上式为空中协调函数 （2）解算过程中协方差模型采用Forsberg的扰动位模型，该模型由于能够反映局部重力信号的空间变化因此适合于航空重力数据和地面数据的联合处理，模型具体形式如下： 式中符号的具体含义如下：表示比例系数， ,H 表示大地高。 D,U 表示高频和低频衰减因子。 S表示空间两点间的平面距离。 此协方差函数的求解过程正在研究中。