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常微分方程试题7 一、填空题 (本题共4小题，每小题4分，满分16分) 1、初值问题的解满足积分方程. 2、积分方程的解为. 3、常数矩阵只有一个特征根，则= ． 4、若是常系数实阶齐次线性方程的重特征根，则方程有形如 的个实特解． 二、单选题 (本题共4小题，每小题4分，满分16分) 1、曲线满足方程（C）A． B． C． D． 2、一阶线性方程的积分因子是（ B ）． A． B． C．　D． 3、用待定系数法求微分方程的特解时，应将特解的形式设为（ C ） .A． B． C． D．（是待定常数） 4、如果是二阶线性方程的解，则下列是的解的是（C ）A． B． 　C．　D． 三、解下列微分方程（本题共4小题，分值:8+8+8+12，满分36分） 1、 2、 3、 4、 四、计算题（本题共两小题，分值：14+8，满分22分） 1、已知，，求与初值问题的解． 2、求的通解． 五、证明题（本题满分10分） 设的系数是以为周期的连续周期函数且，则该方程的非零解以为周期的充分必要条件为． 答案： 三、1. 解：令,又（2分），代入原方程得：（2分），这是齐次方程：（1分），由齐次方程的解法可解得：. （3分） 2. 解：（2分），（2分）， （2分），，所以原方程的通解为 3. （2分）， （2分） （3分）（1分） 4. 解：（1）、先求对应齐次方程的通解：，其特征方程为：（2分）（二重根），通解为：（2分） （2）求方程的通解：， a．的特解为：代入方程得：（1分）,即：（1分）。 b．的特解：（3为二重根），故令，代入方程得：（1分），，即（1分）.c．的特解为：令代入得：（1分）,，即（1分） 故 故通解为：（2分） 四， 1. 解：（2分）当时，令对应的特征向量为，则是对应的特征向量（2分），当时，令对应的特征向量为，则 是对应的特征向量（2分）， （2分） （2分 下面求解初值问题：由于1不是特征根，故令特解为，代入原方程组得： （2分），故通解为：.当代入上式 2. 解：得:（2分），得: （2分），由于，故:首次积分与相互独立（2分），原方程组的通解为:. 其中为任意常数.（2分） 五． 证明：方程的解为：，其中（3分）， （2分） （2分），要使，必须即（1分），反之，若，由以上推导有（2分）