《高等数学》选拔考试试卷3.doc

32.（03分）验证拉格朗日中值定理对函数上的正确性。 答案：证明：上连续，在内可导，即上满足拉格朗日中值定理条件。令，则在内有解，，故在内存在，这就证明了拉格朗日中值定理对函数上的正确性。 33.（03分）对函数上验证拉格朗日中值定理的正确性。 证明：上连续，在内可导，即上满足拉格朗日中值定理条件。又令解得在内有解，即在内存在，使这就验证了中值定理对函数上的正确性。 34.（03分）对函数上验证拉格朗日中值定理的正确性。 证明：上连续，在内可导，即上满足拉格朗日中值定理条件。又令得到内的解 即存在，使这就验证了拉格朗日中值定理对函数上的正确性。 35、求极限 答案： 专家帮助： 36.（03分）利用拉格朗日中值定理计算极限 答案： 专家帮助： 存在介于之间使， 且当； 存在介于之间使， ， 且当， 。 37.（05分）验证柯西中值定理对函数上的正确性。 答案：证明：上连续，在内可导，且 ，故上满足柯西中值定理的条件。 令， 解得满足 故柯西中值定理对函数是正确的。 38.（06分）验证柯西中值定理对函数上的正确性。 答案：上连续，在内可导，且，故上满足柯西中值定理的条件。 又，解得 ，即存在这样的满足 故柯西中值定理对函数是正确的。 39.（10分）设，试确定，使处处可导，并求。 答案： 专家帮助： 要在处可导，首先必须在连续，即， 即要， 又在处可导，则 即 故时，处处可导。且 40、（7分）试确定的一组值，使得当时，为等价无穷小。 答案： 专家帮助： 由于 当，令 则当，时，为等价无穷小。 41、（04分）试求在内对函数应用拉格朗日中值定理时的值。 答案： 专家帮助： 在上连续，在内可导，即在上满足拉格朗日中值定理的条件。 又，令， 即存在使得 42、（05分）设，求满足： 。 答案： 专家帮助： 在上连续，可导，又，则由得到 ，解得，即为所求。 43、（04分），试在内求满足的中值。 答案： 专家帮助： ， 即满足的中值。 44、（04分）求 极限 答案： 专家帮助： 令，则 。 45、（08分）设上连续，在内可导，且证明存在一点 答案：证明：令则在连续，在可导，因 即上满足罗尔中值定理的条件，则至少存在 而即 即 46、(08分) 设上连续，在内可导，且证明存在一点 答案：证明：令，则在连续，在可导，因，即上满足罗尔中值定理的条件，则至少存在,而.而即其中 47、（9分）设上可导，且 证明在有且仅有一个 答案：证明：令则 则.利用闭区间连续函数的零值定理，则至少存在,即. 再证明最多存在一个即. 反证，设存在,即上满足罗尔中值定理的条件，则至少存在.即这与在矛盾. 故最多存在一个即. 故在有且仅有一个 48、（09分）设函数上可导，且证明在有且仅有一个 答案：证明：令 （1）则则.利用闭区间连续函数的零值定理得，则至少存在,即. （2）再证在内最多存在一个使. 反证，设存在,则上满足罗尔中值定理的条件，则至少存在.即,这与在矛盾. 故在内最多只有一个使. 结合（1）（2）得，在有且仅有一个 49、（10分）设为偶数，且，试证方程 答案：证明：显然是 令，则连续，可导， 若，即，又上连续，可导 则上满足罗尔中值定理条件，则至少存在，而，即，因为偶数，则为奇数，故.即矛盾，故最多有一个实根。 综上所述，方程 50、（10分）若上有阶导数存在，且 试证明在内至少有一个. 答案：证明：若上有阶导数，且则在上满足罗尔中值定理的条件，则至少存在。又上可导，且。即上满足罗尔中值定理的条件，则至少存在，以此类推得，有，在上满足罗尔中值定理的条件，则至少存在，. 51、（09分）若上连续，在内可导，且 ，证明在内至少存在一点，使得。 答案：证明：令，则在上连续，在内可导，因，则，即在上满足罗尔定理的条件，则至少存在，使。又，即，而，则，。 52、（05分）若方程有一正根，证明方程必有一个小于的正根。 答案：证明：令，则在上连续，可导，且，则在上满足罗尔定理的条件，则至少存在，使。 又，即方程必有一个小于的正根。 53、（02分）设可导，，求证存在，使得。 答案：证明：在上适合拉格朗日中值定理的条件，故必存在适合。则结论得证。 54、（08分）设在上二阶可导，证明在内存在点，使。 答案：证明：令，则在上二阶可导，利用拉格朗日中值定理，则至少存在，使，又 ，而在上满足罗尔定理得条件，则至少存在，使，即。 55、（05分）试证明：若在上可导并满足：则。 答案：证明：令，则在内可导，且 ，故，取 ，故，即。 56、（08分）试证明：若在上可导，证明存在，使得。 答案：证明：，则在上可导，利用拉格朗日中值定理，则至少存在，使， 即， 即。 57、（05分）若对有，则在内，其中，为常数。 答案：证明：取定，对则在以为端点的区间上满足拉格