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§11.3分式方程 教学目标： （一）知识与技能 理解分式方程的概念，会解可化为一元一次方程的分式方程，了解分式方程产生增根的原因，掌握解分式方程验根的方法，列分式方程解应用题的一般步骤． （二）过程与方法 由分式方程转化为整式方程，培养学生具有转化的思维能力，了解分式方程产生增根的原因，培养学生全面分析问题能力． （三）情感态度与价值观 通过转化思想的渗透以及转化时产生增根的原因，让学生感受到全面分析，整体思考的积极性情感． 教学重点： 正确、完整地解可化为一元一次方程的分式方程，列方程解应用题． 教学难点： 产生增根的原因，列方程时等量关系． 教学过程： 第一课时 问题与情境 师生行为 设计意图 [活动一] 问题：轮船在水中顺水航行80千米所需的时间和逆水航行60千米所需时间相同，已知水流速度是3千米/时，求船在静水中的速度． 教师分析：设船在静水中的速度是x千米/时． 学生填空： （1）轮船顺流航行速度为 x+3 千米/时，逆流航行速度为 x-3千米/时． （2）顺流航行80千米所用时间为 小时； （3）逆流航行60千米所用时间为 小时； （4）根据题意可列方程为 = 像这样分母中含未知数的方程叫做分式方程． 先通过一个行程问题引导学生从分析入手，列出含未知数的式子表示有关的量，并进一步根据相等关系列出方程，为探索分式方程及分式方程的解法作准备． [活动二] 问题 方程 =与以前所学的整式方程有何不同？ 什么叫分式方程？ 如何解分式方程 =呢？ (4)你能结合上述探究活动归纳出解分式方程的基本思路和作法吗？ 教师提出问题 学生思考、讨论 鼓励学生寻求解决问题的方法，引导学生将公式方程转化为整式方程，学生自然会想到“取去分母”来实现这种转变，求出方程的解，并要求学生验根． 类似于解一元一次方程的去分母，把分式方程两边同时乘以最简公分母（x+3）·（x-3），约去分母得80（x-3）=60（x+3），解这个整式方程得x=21，所以轮船在静水中的速度为21千米/时． 上述解分式方程的过程，实质上是将方程的两边乘以同一个整式，约去分母，把分式方程转化为整式方程来解，所乘的整式通常取方程中出现的各分母的最简公分母． 怎样解分式方程，这是本节的核心问题．这里又一次让学生运用“转化”思想，把待解决或为解决的问题，通过转化，化归到已经解决或比较容易解决的问题中去，最终使问题得到解决． [活动三] 问题 解方程： 教师提出问题 学生先思考，思考时注意对根进行检验． 解： （1）方程两边同乘以（x+2）（x-2）， x=4． 检验：把x=4代入（x+2）（x-2）=12≠0 所以x=4是原方程的根． （2）方程两边都乘以（x+1）（x-1） 得（x+1）-4=（x+1）（x-1） 得x=1． 检验：把x=1代入（x+1）（x-1）=0， ∴x=1是增根，故原方程无解． （3）方程两边都乘以x（x+1）（x-1），得 7（x-1）+4（x+1）=6x． 解这个方程，得x=． 检验：当x=时，x（x+1）（x-1）=×（+1）×（-1）≠0，所以x=是原方程的根． 检验：最简公分母=0，是增根，无解 最简公分母≠0，是原分式方程的解． 解分式方程时，去分母后所得整式方程的解，也可能不是原分式方程的解，这是问什么呢？如何检验呢？引导学生进行比较、探究，并进行充分的讨论．最后统一认识，用分式的意义及分式的基本性质解释分式方程可能无解的原因． [活动四] 问题 已知关于x的方程 有一个正数解，求m的取值范围． 解析：在解此分式方程时，首先将分式方程化成整式方程，它的解x用含有m的代数式表示．根据条件，原方程有解，而且是正数解，非增根． 解：原方程两边都乘以x-3，约去分母得 x-2（x-3）=m，∴x=6-m． 因为原方程有解，所以6-m不能为增根． 即6-m≠3，即m≠3． 又∵方程的解为正数，∴6-m0，即m6， ∴当m6时且m≠3时原方程有一个正数解． 变式练习，加深对方程根与增根的理解． 课时小结 解分式方程的过程，实质上是将方程的两边乘以同一个整式，约去分母，把分式方程转化为整式方程为解，所乘的整式通常取方程中出现的各分式的最简公分母． 解分式方程时，在将分式方程变形为整式方程的过程中，方程两边同乘以一个含未知数的整式，并约去了分母，有时会产生增根，因此，解分式方程时必须进行检验，检验时，可将转化成的整式方程的根代入所乘的整式（即最简公分母），看它的值是否为零，如果为零，即为增根，应舍去． 课后作业 教科书 习题11.3 1、2 第二课时 问题与情境 师生行为 设计意