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第六章 定积分 第一节 定积分的概念 思考题： 1. 如何表述定积分的几何意义？根据定积分的几何意义推出下列积分的值： （1）, （2）, （3）, （4）. 解：若在几何上表示由曲线，直线及轴所围成平面图形的面积. 若时，在几何上表示由曲线，直线及轴所围平面图形面积的负值. （1）由下图（1）所示，. （2）由上图（2）所示，. （3）由上图（3）所示，. （4）由上图（4）所示，. 2. 若当，有，下面两个式子是否均成立，为什么？ （1）, （2）. 答：由定积分的比较性质知（1）式成立，而不定积分的结果表示一族函数，与不能比较大小，故（2）式不成立. 3. 个数的算术平均值与连续函数在闭区间上的平均值有何区别与联系？ 答：二者均反映了多个数的平均值大小，后者是前者的推广，但个数的算术平均值是有限个数的平均值，而连续函数在闭区间上的平均值反映的是无限个数的平均值，前者计算公式是,后者计算公式是. 习作题： 1. 用定积分的定义计算定积分,其中为一定常数. 解：任取分点,把分成个小区间，小区间长度记为=-,在每个小区间上任取一点作乘积的和式： , 记, 则. 2. 利用定积分的估值公式，估计定积分的值. 解：先求在上的最值，由 , 得或. 比较 的大小，知 ， 由定积分的估值公式，得, 即 . 3. 求函数在闭区间[-1，1]上的平均值. 解：平均值. 4. 利用定积分的定义证明. 证明：令,则，任取分点…,把分成个小区间，并记小区间长度为，在每个小区间上任取一点，作乘积的和式,记, 则 . 微积分基本公式 思考题： 1. ? 答：因为是以为自变量的函数，故=0. 2. 答：因为是常数，故. 3. ？ 答：因为的结果中不含，故0. 4. ？ 答：由变上限定积分求导公式，知. 5. ？ 答：. 6. 若，则=？ 答：=. 7. 当为积分区间上的分段函数时，问如何计算定积分？试举例说明. 答：分段函数的定积分应采用定积分关于积分区间的分割性质，将分解为部分区间上的定积分来计算.例如：若 则 =+==. 8. 对于定积分，凑微分法还能用吗？为什么？ 答：能用.因为定积分是通过被积函数的原函数来计算，而凑微分法所得原函数不须作变量置换. 习作题： 1. 计算下列定积分 （1）, （2）, （3）. 解：（1）=+ ===1. （2）=+ ==4+. （3）=+ ==2+2=4. 2. 求极限. 解：此极限是“”型未定型，由洛必达法则，得 == 3. 计算下列各题： （1）， （2）， （3）, （4）, （5）, （6）, （7）, （8）, （9）, （10）, （11）, （12）, （13）. 解：（1）=. （2）=. （3）. （4）=. （5）. （6）. （7）===. （8）== =. (9) ==. (10) ===. （11）===. （12）==. （13）===. 定积分的积分方法 思考题： 1. 下面的计算是否正确，请对所给积分写出正确结果： （1）= = =. （2） = ==2 =2. 答：（1）不正确，应该为： =. （2）不正确，应该为： =2. 2. 定积分与不定积分的换元法有何区别与联系？ 答：定积分与不定积分的换元法的区别在于：不定积分换元积分后要作变量回代，定积分在换元时要同时变换积分限，而不用作变量回代. 联系在于：二者均要求置换的变元单调可导，且选择变元的规律相同. 3. 利用定积分的几何意义，解释奇偶函数在对称区间上的积分所具有的规律. 答：如图, 设在上满足≥0，则表示由曲线，直线，及轴所围图形的面积，不妨记为，则当为偶函数时，(如下图(1)所示)，当为奇函数时，(如下图(2)所示). （2） 习作题: 1. 计算下列定积分: (1), (2). 解：（1）令=, 则, 当= 0 时，= 0 ; 当= 4 时，， 于是 =. （2）==. 2. 计算下列定积分： （1）, （2）, （3）, （4）. 解：（1）== =. (2) = . (3) =