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浙江师范大学《高等代数(一)》考试卷参考答案 （2006——2007学年 第一学期） 考试形式 考试 使用学生 数理学院0 一、选择题：(每小题2分，共20分D A B D B D C A C 二、填空题：(每个空格2分，共24分。答卷时空格的号与所填内容相对应＋1)( x2－2 x cos＋1)； ⑸ f (x)＝(x－1)( x－ε)( x－ε2)( x－ε3)( x－ε4)，其中ε＝cos＋i sin； 4．⑹ ； 5．⑺ 0； 6．⑻ －； 7．⑼ 无解或唯一解； 8．⑽ 27；⑾ ； 9．⑿ a1＋a2＋a3＝1。 三、计算题：(每小题8分，共32分。要有比较详细的计算过程，求f (A)。 解 因为可用归纳法证明：＝， ( 4分) 所以， f (A)＝An－2A＋E＝－2＋ ＝－＋＝。 ( 8分) 2．计算下列行列式的值： (1) ；　 (2) Dn＝。 解 (1) 原式＝16＝16＝16 ＝16＝－32＝－32＝32×64＝2048。( 4分) (2) 当n＝1时，D1＝x1＋1；当n＝2时，D2＝x1－x2； ( 6分) 当n≥3时， Dn＝＋ ＝＋＝0＋0＝0。 ( 8分) 3．当a，b为何值时线性方程组 有唯一解、无解、无穷解。在方程组有无穷解时，求此线性方程组的一般解。 解：用初等行变换，将增广矩阵化成阶梯形： → → → 。 ( 2分) (1) 当a≠1时，方程组有唯一解； (2) 当a＝1时，系数矩阵的秩r(A)＝2。 ( 4分) 如果当b≠－1，则增广矩阵的秩r()＝3，原方程组无解； 如果当b＝－1，则增广矩阵的秩r()＝2＜4，原方程组有无穷多解。此时原方程组与下列方程组同解： 其中x3，x4为自由未知量，容易求得特解γ0＝(－1，1，0，0)，导出组的基础解系为 η1＝(1，－2，1，0)，η2＝(1，－2，0，1)。 所以，其一般解为：γ＝γ0＋k1η1＋k2η2，其中k1，k2为任意常数。 ( 8分) 4．设矩阵A＝，B＝， (1) 求矩阵A的逆矩阵A－1； (2) 如果矩阵X满足：XA＝B，求矩阵X 。 解 (1) A－1＝； ( 4分) (2) 由XA＝B可得： X＝BA－1＝＝。 ( 8分) 四、证明题：(每小题8分，共24分αi＝(1，，，…，)，α1，α2，…，αα1，α2，…，αβi＝(1，，，…，)，＝Vr＝≠0， 所以向量组β1，β2，…，βα1，α2，…，α 证明 (1) 因为AB－A－B＝0，则有AB－A－B＋E＝E，而 AB－A－B＋E＝A(B－E)－(B－E)＝(A－E) (B－E)＝E， 所以，A－E可逆。 (2) 我们用反证法来证明。假设E－BA不可逆，则|E－BA|＝0，即存在非零矩阵X，使得(E－BA)X＝0，从而有X＝BAX。令Y＝AX，则X＝BY (Y≠0，否则X＝0)， 我们再来看(E－AB)Y＝Y－ABY＝Y－AX＝0，这与条件E－AB可逆矛盾，所以，E－BA也可逆。 1