2010联赛决赛.docVIP

2010年全国初中数学联合竞赛试题 第一试 一、选择题：（本题满分42分，每小题7分） 1.若均为整数且满足，则（ ） A．B．C．D．满足等式，，则可能取的最大值为（ ） A．B．C．D．是两个正数，且，则（ ） A．B．C．D．的两根也是方程的根，则的值为（ ） A．B．C．D．中，已知，D，E分别是边AB，AC上的点，且，，,则( ) A．B．C．D．，将其各位数字之和记为，如，，则（ ） A．B．C．D．满足方程组则_________. 2．二次函数的图象与轴正方向交于A，B两点，与轴正方向交于点C．已知，，则________． 3．在等腰直角△ABC中AB＝BC＝5，P是△ABC内一点，且PA＝，PC＝5，则PB＝______． 4．将红、黑两种颜色的球摆两种球都要出现，且任意中间夹有5个或10个球的两个球必为同一种颜色的球按摆放（）为三角形的三边长，满足，求符合条件且周长不超过30的三角形的个数. 二．（本题满分35分）已知等腰三角形△ABC中AB＝AC，∠C的平分线与AB边交于点P，M为△ABC的内切圆⊙I与BC边的切点，作MD//AC，交⊙I于点D.证明：PD是⊙I的切线. 三．（本题满分35分）已知二次函数的图象经过两点P，Q. （1）如果都是整数，且，求的值. （2）设二次函数的图象与轴的交点为A、B，与轴的交点为C.如果关于的方程的两个根都是整数，求△ABC的面积. 第二试（B） 一、设整数为三角形的三边长，满足，求符合条件且周长不超过30的三角形的个数（全等的三角形只计算1次） 二、与A卷第二题相同 三、与A卷第三题相同 第二试（C） 与B卷第一题相同 与A卷第二题相同 三、设是大于2的质数，k为正整数．若函数的图象与x轴的两个交点的横坐标至少有一个为整数，求k的值． 参考答案 第一试 BCCABD 1、13 2、 3、 4、15 第二试（A） 解：由已知等式可得： ① 令，，则，其中，均为自然数。 于是，等式①变为，即 ② 由于，均为自然数，判断易知： 使得等式②成立的，只有两组：和。 当，时，，。又，，为三角形的三边长，所以， 即，解得。 又因为三角形的周长不超过30， 即，解得。 因此， 所以可以取值4，5，6，7，8，对应可得到5个符合条件的三角形。 当，时，，。又，，为三角形的三边长，所以， 即，解得。 又因为三角形的周长不超过30， 即，解得。 因此， 所以可以取值2，3，4，5，6，7，对应可得到6个符合条件的三角形。 综上可知：符合条件且周长不超过30 的三角形的个数为。 解：过点做的切线（切点为）并延长，交于点。 因为为的平分线，所以。 又因为、均为的切线，所以。 又为公共边，所以，所以。 由，，所以，故，所以∥。 又因为∥，所以和为同一条直线。 又点、均在上，所以点和点重合，故是的切线。 解：点、在二次函数的图象上，故，，解得，。 由知，解得。 又为整数，所以，，。 设，是方程的两个整数根，且。 由根与系数的关系可得，，消去，得， 两边同时乘以9，得，分解因式，得。 所以，或，或，或， 解得，或，或，或， 又，是整数，所以后面三组解舍去，故，。 因此，，，二次函数的解析式为。 易求得点、的坐标为和，点的坐标为，所以的面积为。 第二试（B） 一、解：不妨设，由已知等式可得 ① 令，，则，其中，均为自然数。 于是，等式①变为，即 ② 由于，均为自然数，判断易知： 使得等式②成立的，只有两组：和。 当，时，，。又，，为三角形的三边长，所以， 即，解得。 又因为三角形的周长不超过30， 即，解得。 因此， 所以可以取值4，5，6，7，8，对应可得到5个符合条件的三角形。 当，时，，。又，，为三角形的三边长，所以， 即，解得。 又因为三角形的周长不超过30， 即，解得。 因此， 所以可以取值2，3，4，5，6，7，对应可得到6个符合条件的三角形。 综上可知：符合条件且周长不超过30 的三角形的个数为。 二、与A卷第二题相同 三、与A卷第三题相同 第二试（C） 与B卷第一题相同 与A卷第二题相同 解：由题意知，方程的两根，至少有一个为整数。 由根与系数的关系可得，，从而有 ① 若，则方程为，它有两个整数根和。 若，则。 因为为整数，如果，中至少有一个为整数，则，都是整数。 又因为为质数，由①式知或。 不妨设，则可设（其中为非零整数），则由①式可得， 故，即。 又，所以，即 ② 如果为正整数，则，，从而，与②式矛盾。 如果为负整数，则，，从而，与②式矛盾。 因此，时，方程不可能有整数根。 综上所述，。