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数 列 专 题 基础知识 与之间的关系：由的定义可知，当n=1时，=；当n≥2时，=-，即=. 等差数列：等差数列的通项公式： 公式1： 公式2： 公式3：等差中项：成等差数列 等差数列的重要性质：m+n=p+q (m, n, p, q ∈ ) 对等差数列前项和的最值问题有两种方法: （1） 利用:当0，d0，n项和有最大值可由≥0，且≤0，求得n的值当0，d0，n项和有最小值可由≤0，且≥0，求得n的值（2） 利用：由二次函数配方法求得最值时n的值是等差数列前n项和，则 仍成等差数列 等比数列：等比数列的通项公式: 。 ｛｝成等比数列=q（,q≠0） 等比中项：G为a与b的等比中项. 即G=±（a,b同号）. 等比数列的一个重要性质：若m+n=p+q， 等比数列的前n项和公式：当q=1时， 当时， ① 或 ② 数列通项 1、 1，-1,1，-1，1,… 2、 5,55,555,5555，… 3、 三、数列求和 研究数列求和，首先要注意：数列的特征，认清是否是我们熟悉的数列：等差数列和等比数列 公式法：⑴等差等比的求和公式 ⑵①1+2+…+n=n(n+1) ②12+22+…+n2=n(n+1)(2n+1) ③13+23+…+n3=(1+2+…+n)2=n2(n+1)2 预热：1、求等差数列 -3，-1，1，3，…的前n项的和。 2、求数列1，2，4，…，2n的和 求等比数列1,x,x2,…,xn-1的和 4、若求数列的前n项的和 在应用公式求等差、等比数列的和时，要注意：认清特征、数清项数、分清条件、记清公式. 除此之外，还有一些特殊的数列也可以通过一些方法来求数列前n项的和. （一）、分组求和法：若数列{an}的通项可转化为an=bn+cn的形式，且数列{bn}{cn}可求出前n项和Sn+Tn。 例：1、求数列的前n项的和 2、求数列的前n项的和 3、求数列的前n项的和（或用并项求和法） 4、求数列的前n项的和 5、求数列的前n项的和 （二）、裂项相消法：将数列的每一项拆(裂开)成两项之差,使得正负项能相互抵消,剩下首尾若干项. 裂项求和基本问题: 1.求和： 。 2.求和： 3.求和：。 。 4.求和：。 。 5.求和：。 因为， 特殊： 例1、求和。 2、求和 3、数列的前n项的和。 4、求的前n项的和 练习：求数列的前n项的和。 （三）、错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列与一个等比数列对应项乘积组成，则将数列的每一项都作相同的变换, 然后将得到的新数列错动一个位置与原数列的各项相减. 例 等比数列求和公式的推导. 例 1、求数列的前n项的和。 2、求数列的前n项和。 3、求数列前n项的和. 4、设………………① ……………………② （设制错位） ①－②得 （错位相减） ∴ （四）、倒序求和法：将数列的倒数第k 项(k=1, 2, 3, …)变为正数第 k 项, 然后将得到的新数列与原数列进行变换(相加、相减等). 例1 等差数列求和公式的推导. 例2 已知 lgx+lgy=a,且Sn=lgxn +lg(xn-1y)+lg(xn-2y2)+…+lgyn, 求 Sn. 析 倒序求和法。或对数的运算性质求解 例3求的值 解：设………. ① 将①式右边反序得 …② (反序） 又因为 ①+②得 （反序相加） ＝89 ∴ S＝44.5 （五）、分段求和法： 如果一个数列是由具有不同特点的两段构成，则可以考虑利用分段求和。 例 求等差数列200，199，…，-100的后400项的绝对值之和。 易知，令可得n≥301,所以 （六）、合并法求和 针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，因此，在求数列的和时，可将这些项放在一起先求和，然后再求Sn. 例 求cos1°+ cos2°+ cos3°+···+ cos178°+ cos179°的值. 解：设Sn＝ cos1 cos2°+ cos3°+···+ cos178°+ cos179° ∵ 找特殊性质项） Sn＝ cos1°+ cos179°）+（ cos2°+ cos178°）+ （cos3°+ cos177°）+···+（cos89°+ cos91°）+ cos90°＝ 0（合并求和） （七）、利用数列的通项求和 先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项及其特征，然后再利用数列的通项揭示的规律来求数列的前n项和，是一个重要的方法. [例15] 求之和. 解：由于 （找通项及特征） ∴ ＝ （分组求和） ＝＝ ＝ 以上一个7种方法虽然各有其特点，但