八年级一对一第七讲.docVIP

第七讲 实数 复习巩固 无理数的引入——估算 算术平方根 无理数的表示 平方根 实数的应用 立方根 概念 分类 实数及其相关概念 绝对值、相反数、倒数 实数与数轴上的点的关系 实数的运算和比较大小 知识点一：无理数的发现 会判断一个数既不是分数，也不是整数，从而说明这个数不是有理数。 例1：边长为1的正方形的对角线的长度是整数吗？是分数吗？它是有理数吗？ 解： 这个正方形的对角线长满足关系式： ∵没有一个整数的平方等于2，∴不是整数； 又∵分数的平方都是分数，∴也不是分数； 既不是整数，也不是分数，所以不是有理数。 知识点二：无理数的概念 无限不循环小数叫做无理数。 例2：下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？ ，，，，……，，， 有理数：（ ） 无理数：（ ） 知识点三：算术平方根，平方根和立方根的概念 （1）算术平方根：如果一个正数的平方等于，即，那么这个正数就叫做的算术平方根。 注意：①特别地，我们规定0的算术平方根是0，即。 ②负数没有算术平方根，也就是说，当式子有意义时，一定表示一个非负数。 （2）平方根：如果一个数的平方等于，即，那么这个数就叫做的平方根。（也叫二次方根） 注意：①一个正数必有两个平方根，一个是的算术平方根“”，另一个是“”，它们互为相反数，这两个平方根合起来可以记作“”，读作“正、负根号”。 ②0只有一个平方根，它是0本身。 ③负数没有平方根。 （3）立方根：如果一个数的立方等于，即，那么这个数就叫做的立方根。（也叫三次方根） 注意：①每个数都只有一个立方根，记为“”，读作“三次根号”。 ②正数的立方根是正数，0的立方根是0，负数的立方根是负数。 （4）几个常用公式 ① ② ③ ④ 例3：计算： （1） （2） （3） （4） 例4：（1）的值是 。 （2）的算术平方根是 。 例5：某数的两个平方根分别是和，求这个数。 例6：求下列各式中的值： （1） （2） （3） （4） 知识点4：非负数的性质 我们学过的非负数有：一个数的绝对值；一个数的算术平方根；一个数的平方。 即：，， 若几个非负数的和等于0，则每个非负数都为0。 例7：已知：，求的值。 例8：已知△ABC的三边长分别为，且满足，求出三边长，并判断△ABC的形状。 知识点5：实数的概念及分类 （1）实数的定义： 和 统称为实数。 （2）实数的分类： 二分法： 有理数 实数 无理数—— 三分法： 正实数 实数 0 负实数 （3）实数的相反数、倒数、绝对值 在实数范围内，相反数、绝对值、倒数的意义和求法与有理数范围内的相反数、绝对值、倒数的意义和求法完全相同。 任何实数，都有一个相反数； 任何非零实数，都有其倒数； 在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做该数的绝对值； 正实数的绝对值等于它本身；0的绝对值是0；负实数的绝对值等于它的相反数。 （4）实数与数轴上的点一一对应。它包含两层意义：①每个实数可以用数轴上的一个点来表示；②数轴上的每一个点都可以表示一个实数。 知识点9：实数的四则运算及化简 （1）、实数和有理数一样，可以进行加、减、除、乘方运算，而且有理数的运算法则与运算律对实数仍然适用。 （2）、在进行无理数的运算时，要注意只有同类根式才能进行加、减运算。在运算的过程中，根式不变，把系数相加、减。 （3）