物-理-大-地-测-量-学4.ppt

* 第五章 地球正常重力场 §5.1 正常重力场的概念 一、正常重力场 设质体应满足如下要求： （l）外部的重力位和重力要尽量与实际地球外部的重力位和重力接近； （2）表面为重力位水准面。 则这个质体产生的重力场就称为正常重力场。而其引力位、引力和重力位、重力分别称为正常引力位、正常引力和正常重力位、正常重力。 二、确定正常重力场的方法 1. 拉普拉斯方法 将地球的重力位展开成球函数级数的形式，然后在级数中取最大的几项作为正常重力位，取多少项应视精度而定，令正常重力位等于不同的常数可求得一簇正常重力位水准面，我们选择其中的一个，假设它是产生正常重力位的质体的表面，则正常重力场就理解为该质体产生的重力场，这样，正常重力位是人为选定的，正常重力即为正常重力位的梯度。 2. 斯托克司方法 选择一个形状和大小已知的质体，该质体在以已知角速度自转，其表面为重力位水准面，并且已知这个质体的质量或其表面的重力位，则根据斯托克司定理或第一边值问题解的唯一性知，该质体在外部的重力位和重力是唯一确定的，我们就规定其为正常重力位和正常重力，因而正常重力场就是这个质体产生的重力场。 3．优缺点 由拉普拉斯方法确定的正常重力场可任意地接近实际地球的重力场，但正常重力位水准面的形状很复杂，不适用于大地测量中的各种归算。 用斯托克司方法确定正常重力场，假设产生正常重力位的质体为一个旋转椭球体。在大地测量中，适宜归算。缺点是近似程度受限制。 §5.2 均质旋转椭球体在内部的引力和引力位 设均质旋转椭球体的密度为δ，表面的方程为 在其内部坐标为（x，y，z）的P点处产生的引力是 一、内部引力分量 1. 引力分量Fx 引入球坐标，P点为坐标系原点，极轴平行于x轴，ψ为极距，γ为经度，则体积元dτ的球坐标为r、ψ、γ，而ξ、η、ζ与r、ψ、γ的关系为 体积元用球坐标表示出来为 经过化简，可得 2.引力分量Fy 由旋转椭球体的对称性可知，将上式中的x换成y即得 ，为 3.引力分量Fz 二、内部引力位 由前面公式可得，均质旋转椭球体在内部的引力为 其中的P和Q为常数 显然，该均质旋转椭球体在内部的引力位可以写成如下形式： 这里的K为某一常数，它等于旋转椭球体中心的引力位。 而K为 密度与质量的关系为： 三、均质旋转椭球体在外部的引力位 如图坐标系中，旋转椭球体表面的方程是 均质旋转椭球体在P点的 引力位是 即 现在，考虑以旋转椭球体中心为原点、以短轴为极轴的球坐标，分别用ρ、θ、λ表示到原点的距离、极距和经度，由于该坐标系是质心主惯轴坐标系，所以均质旋转椭球体在外部引力位的球函数级数展开式 由于对称性，V与λ显然是无关的，另外，在θ和π－θ两点显然V也应相等，由 的奇偶性便知，展开式中只能出现偶数阶的 。 §5.3 同形均质旋转椭球壳的引力位 在这一节里，我们研究一种特别的壳体： （1）其内、外表面均为旋转椭球面； （2）内、外表面的中心以及长、短半轴重合； （3）内、外两个表面相似。（外a、b， 内αa 、 αb ） 显然，内、外表面的第一和第二偏心率都相等，不同的是长半轴。 一、在内部的引力位 用a表示外表面的长半轴， b表示内表面的长半轴，该椭球壳在内部的引力位等于长半轴分别是a和αa两个均质旋轴椭球体的引力位之差，则 α为内外比例 显然Vi为常数，因而该壳体在内部的引力为零。 当α趋于1，进一步化简可得内部的引力位 它是常数，由质面引力位的连续性知，这个旋转椭球面形的质在旋转椭球面上引力位等于常数，这一点将在导出正常引力位时用到。 二、在外部的引力位 将均质旋转椭球体的质量m换成密度δ，则均质旋转椭球体在外部的引力位为 由它得内、外长半轴分别为αa和a的均质椭球壳在外部的引力位是 将壳体的密度利用换成壳体的质量 保持m不变让α趋于1，则壳体趋于一个质面，利用罗必塔法则可以求得 所以质面的引力位是 计算内部位时我们已经知道，这个极限质面在旋转椭球面上及内部的引力位是常数。 三、同形旋转椭球质面 由上述同形均质旋转椭球壳体在保持总质量不变的情况下由α趋于1得到的质面叫同形旋转椭球质面，我们已经求得该质面在内部和外部的引力位。 现在，从均质壳体出发，设壳体很薄，则壳的面密度等于壳的体密度乘以壳的厚度。 其中