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§3.4几何意义 一、勒让得函数的零点 在（－1，1）中有n－k个零点。 由于 是一个n次多项式，并且在(－1，1)中有n个－重零点，所以，x＝1和x=－1不再是它的零点。下图是几个低阶勒让得函数的曲线图，曲线与X轴的交点就是零点。 二、面球函数的几何意义 当k=0时，面球函数退化成 ，由于它在0＜θ＜π之间有n个零点，并且每经过一次零点改变一次正负号，所以 由n条纬线将球面分成n＋l个正负相间的条带，叫带球函数。 右图是 的示意图，零点为50.8°、90°、129.2°。 当k=n时， 在0＜θ＜π中没有零点，只在θ =0和θ = π时才等于零， 或 在0＜λ＜2 π 中有2n个零点，所以， 或 由2n条经线将球面分成2n个正负相间的扇形，叫扇球函数。 右图是 的示意图，零点为λ=45°、135°、225°和315°。 当0＜k＜n时， 在0＜θ＜π中有n-k个零点 或 在0＜λ＜2π中有2k个零点，所以， 或 由n-k条纬线和2k条经线将球面分成(k(n-k+1)个正负相间的小方格（极点周围为三角形），叫田球函数。 右图是对 的示意图，零点为θ＝0°、67.4°、112.6°和180°， λ=45°、135°、225°和315°。 §3.6正交性和加法公式 一、（连带）勒让得函数的正交性 设 、 、…是定义在［a，b］中的一簇实函数，如果 则称函数簇是正交的。(连带）勒让得函数满足正交关系式 引进克罗内克符号 则可将正交关系式写成一个等式 当k=0时，上式退化为 二、面球函数的正交性 将 代入连带勒让德正交式中，得 三角函数具有如下的正交性： 引进另外一个克罗内克符号 上面第一和第三式可以写成 设ω为单位球面，其上的面积元为 则面球函数正交关系式可写成 上式也可写成更直观的形式 三、加法公式 经常碰到球面上坐标分别为(θ，λ)和(θ’，λ’)两点对于球心的夹角ψ的球函数 。 如图所示 ψ与 θ，λ以及 θ’，λ’的关系为 * 第三章 球函数 §3－1 球坐标中拉普拉斯方程的分离变量解法 一、球坐标中的拉普拉斯算子 球坐标和直角坐标的关系是 可利用这组关系式直接将直角坐标系中的拉普拉斯算子化算到球坐标系中，但是计算繁琐。 通常可以利用 来推导拉普斯算子在球坐标中的表达式，结果为： 二、分离变量法 1. 分离变量法 令球坐标下的拉普拉斯算子等于零，然后两边同乘以ρ2，得球坐标中的拉普拉斯方程 分离变量法就是将方程的解分解为依赖于不同自变量的函数之积 令 代入上式，可得 两边同除以 然后将后两项移到等号右边，得 上式中，等号左边只与自变量ρ有关，右边只与θ和λ有关，既然等号两边依赖于不同的自变量而且又必须相等，则等号两边必然等于同一常数α，所以可以组成以下两个方程： 进一步对第二个方程作变量分离，令 代入方程得 上式两边同乘以sin2θ，然后将第二项移到等号右边，得 该式中，等号左边只与θ有关，等号右边只与λ有关。 所以，等号两端必等于同一常数β，稍作整理得 返回 至此，我们将球坐标中的拉普拉斯方程分解成了三个常微分方程，显然，这三个常微分方程要比拉普拉斯方程这个偏微分方程求解简单，这种用分离变量求解偏微分方程的方法叫付立叶方法。 2. 连带勒让德方程 为方便讨论，我们再将 做些改化。作变量替换 则 代入 两边同除以 ，得 这个方程称为连带勒让得方程。 3. 勒让得方程 当β＝0时上式简化为