物-理-大-地-测-量-学2.ppt

2.球外第一边值问题的泊松积分 设球心为O，球的半径为R，我们要计算的是球外P点的引力位。在OP上取一点P1，P1到球心的距离用 表示，并且 ，这样的P1点叫P点的共扼点。设M为球外任意一点，它到P点的距离用r表示，到P1点的距离用r1表示，则球外第一边值问题的格林函数为 它是M点坐标的函数。 由定义知， 证明分为两部分，第一部分是证明U为σ外部的调和函数，并在无穷远处正则；第二部分是证明G在σ 上等于零。 由于U的表达式与位于P1点的质点引力位类似，只是质点引力位中的常数因子fm变成了这里的常数因子 ，所以，第一部分证明可从质点引力位的性质得出。至于第二部分，有 * 第二章 位理论边值问题初步 §2.1 边值问题的概念 我们的目的是研究地球外部重力场，而重力场的性质完全是由重力位决定的，所以我们只需求得重力位。由重力位的定义知，坐标为(x,y,z)的P点的重力位是 上式中的第一项为引力位，第二项为离心力位。 离心力位的计算是根据天文观测的方法精确测定地球的自转角速率和自转轴方向，再由点的坐标来计算离心力位。 引力位的计算必须以足够的精度知道地球的形状和内部物质的分布密度，目前还不能准确的确定。 实际上，通常是以重力测量数据计算引力位。 地面上实测的重力值减去离心力就是地面上的引力，根据引力位的性质，如果我们能够唯一地确定一个函数，它在地球外部调和，在无穷远处正则，其梯度在地面上等于引力，则这个函数就必然是引力位。由这种方法计算引力位的问题就是一个边值问题。 一.定义 位理论的边值问题就是根据某一空间边界上的给定条件求出该空间中拉普拉斯方程的解。 当空间被包含在边界内部时叫内部边值问题。 当空间位于边界外部时叫外部边值问题。 在地球形状和外部重力场理论中，求解的是地球外部的重力场，所以，这里主要讨论的是外部边值问题。 二. 外部边值问题的三种形式 1.第一边值问题： 求解在边界外部调和，在无穷远处正则的函数V，使其在边界上满足边界条件V＝f，其中f为已知函数。该问题也叫狭义利赫外部问题 2.第二边值问题： 求解在边界外部调和，在无穷远处正则的函数V，使其在边界上满足边界条件 ，其中n为边界的 外法线方向。该问题也叫牛曼外部问题。 3.第三边值问题： 求解在边界外部调和，在无穷远处正则的函数V，使其在边界上满足边界条件 ，其中 为已知函数。该问题也叫混合边值问题。 显然， §2.2 格林公式 一、内部格林公式 1.高斯积分定理 设 是连通的有界闭区域，其边界面σ是分片光滑的闭曲面，函数P(x，y，z)、Q(x，y，z)、R(x，y，z)及它们的一阶偏导数在 上连续，则如下的高斯积分定理成立： 其中n是积分面元 处曲面的外法线方向。若用 表示沿n的单位矢量，则 定义一个矢量函数 并记 叫矢量 的散度。 则可将高斯积分定理写成 高斯积分定理给出了体积分和面积分之间的关系。 2.内部第一格林公式 在上式中，取 写成简单的形式为 则我们可以求得 写成矢量的形式为 得 由方向导数的性质， 可得 上式叫内部第一格林公式。 2. 内部第二格林公式 将内部第一格林公式的u和v互换位置，得 前两式相减得 该式叫内部第二格林公式。 在内部第一、二格林公式中，要求出现的u和v及其各阶偏导数在 上连续。 ?二、外部格林公式 分块光滑闭曲面σ上的面积分与其外部区域 中的体积分之间的关系，即外部格林公式。 1. 外部第一格林公式 首先，假设 是介于两个曲面σ和Σ之间的闭区域，Σ为半径是R的球面，σ完全被包含在Σ内部。 将内部第一格林公式应用于闭区域 及其表面σ和Σ， 得 如图所示 因为 由内表面σ和外表面Σ围成，所以，上式等号右边有两项面积分，其中第一项中的负号是由于我们规定σ的外法线 指向 内部的原因而加的。 上式中等号右边的第二项。由于球面Σ的外法线 与球心距ρ增加的方向一致，而且积分面元为， 所以 进一步假设u和v满足 以及 有限 则可得 这就是外部第一格林公式。 2. 外部第二格林公式 其中的u应满足与内部第一格林公式相同条件，v也应满足 和