排列组合典例精析.docVIP

高三总复习之排列组合篇 例1．解方程：3． 解：由排列数公式得：，∵，∴ ，即，解得 或，∵，且，∴原方程的解为． 例2．（1）解不等式：． 解：原不等式即，也就是，化简得：，解得或，又∵，且，以，原不等式的解集为． （2）解不等式：，则的解集是 ． 例3．化简：⑴； ⑵ ⑴解：原式 ⑵提示：由，得，原式 说明：． 例4．（1）若，则 （B ） （2）．与不等的是 （B ） （3）．若，则的值为 （A ） 例5． (1)设 求的值（2）解方程：；（3）解方程： 解：(1)解：由题意可得： ，解得，∵， ∴或或， 当时原式值为7；当时原式值为7；当时原式值为11．∴所求值为4或7或11． （2）由原方程得或，∴或， 又由得且，∴原方程的解为或 上述求解过程中的不等式组可以不解,直接把和代入检验,这样运算量小得多. （3）原方程可化为，即，∴， ∴，∴，解得或，经检验：是原方程的解 例6.(1）从5本不同的书中选 3 本送给 3 名同学，每人各 1 本，共有多少种不同的送法？ (2）从5种不同的书中买3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？ 解：(1）从5本不同的书中选出3本分别送给3名同学，对应于从5个不同元素中任取 3 个元素的一个排列，因此不同送法的种数是=5×4×3=60. (2）由于有5种不同的书，送给每个同学的1本书都有 5 种不同的选购方法，因此送给 3 名同学每人各 1 本书的不同方法种数是5×5×5=125. 例 8 中两个问题的区别在于： ( 1 ）是从 5 本不同的书中选出 3 本分送 3 名同学，各人得到的书不同，属于求排列数问题；而（ 2 ）中，由于不同的人得到的书可能相同，因此不符合使用排列数公式的条件，只能用分步乘法计数原理进行计算． 例7．用0到9这10个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？分析：在本问题的0到 9 这 10 个数字中，因为0不能排在百位上，而其他数可以排在任意位置上，因此。是一个特殊的元素．一般的，我们可以从特殊元素的排列位置人手来考虑问题 解法 1 ：由于在没有重复数字的三位数中，百位上的数字不能是O，因此可以分两步完成排列．第1步，排百位上的数字，可以从1到9 这九个数字中任选 1 个，有种选法；第2步，排十位和个位上的数字，可以从余下的9个数字中任选2个，有种选法（图1.2一 5) ．根据分步乘法计数原理，所求的三位数有=9×9×8=648（个） . 解法 2 ：如图1.2 一6 所示，符合条件的三位数可分成 3 类．每一位数字都不是位数有 A 母个，个位数字是 O 的三位数有揭个，十位数字是 0 的三位数有揭个．根据分类加法计数原理，符合条件的三位数有 =648个． 解法 3 ：从0到9这10个数字中任取3个数字的排列数为，其中 O 在百位上的排列数是，它们的差就是用这10个数字组成的没有重复数字的三位数的个数，即所求的三位数的个数是 -=10×9×8-9×8=648. 例8.（1）某银行储蓄卡的密码是一个4位数码，某人采用千位、百位上的数字之积作为十位和个位上的数字（如2816）的方法设计密码，当积为一位数时，十位上数字选0，并且千位、百位上都能取0.这样设计出来的密码共有（ ） A．90个 B．99个 C．100个 D．112个 【解析】由于千位、百位确定下来后十位、个位就随之确定，则只考虑千位、百位即可，千位、百位各有10种选择，所以有10×10种=100种.故选C. （2）用数字1，2，3，4，5组成的无重复数字的四位偶数的个数为 （ ） A．8 B．24 C．48 D．120 【解析】2和4排在末位时，共有种排法，其余三位数从余下的四个数中任取三个有种排法，于是由分步计数原理，符合题意的偶数共有（个）.故选C. （3）由数字组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数的个数共有（　　）． A．210　　B．300　　C．464　　D．600 解法1：（直接法）：分别用作十万位的排列数，共有种，所以其中个位数字小于十位数字的这样的六位数有个． 解法2：（间接法）：取个数字排列有，而作为十万位的排列有，所以其中个位数字小于十位数字的这样的六位数有(个)． 例9．从五个数字中每次取出三个不同的数字组成三位数，求所有三位数的和． 分析：可以从每个数字出现的次数来分析，例如“”，当它位于个位时，即形如的数共有个（从四