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矩阵论教程A 矩阵论讲义 哈尔滨工程大学理学院 矩阵论教学团队 Department of Mathematics, College of Sciences 书后要求的习题,主动自觉做,抽查和不定时收取 使用教材 《 矩阵论教程》国防工业出版社 2012 其他辅导类参考书（自选） 课 程 要 求 作业要求 矩阵论网站 / 授课预计 (10学时) 1 2 3 4 第二章 内积空间与赋范线性空间 内积空间 标准正交基与向量的正交化 正交子空间 向量范数 5 矩阵范数 6 向量范数与矩阵范数的相容性 教 学 内 容 和 基 本 要 求 2, 理解内积空间的标准正交基，会用施密特正交化方法构 造标准正交基； 3, 理解正交子空间及其正交补的概念； 1，熟练掌握内积的计算方法，知道度量矩阵及其基本性质， 理解内积空间的概念； 5, 理解谱半径的概念，掌握谱半径的相关性质； 重点： 施密特正交化方法；正交子空间及其正交补； 算子范数；相容性 难点： 正交基及子空间的正交关系，算子范数及其与 向量范数的相容性 教 学 内 容 和 基 本 要 求 4, 理解向量范数的概念；理解矩阵范数的概念，掌握算 子范数，会求常用的算子范数，并掌握矩阵范数与向量范数 的相容性； 正交子空间 §2.3 第二节我们研究了正交向量组，那么利用正交 向量组生成的线性子空间有什么特点呢？先看一个 例子。 量组。令 例1. 设 是酉（欧氏）空间的一个正交向 那么 ，必有 分析 ，设 则 因为 是正交向量组， 所以 　与 是欧氏(酉)空间V中的两个子空间，如果对 设 是欧氏(酉)空间V中的子空间, 　 如果对 　　恒有 　则称向量　与子空间 　正交，记作 定义1 定义2 则称子空间 与 为正交的，记作 均有 　　当且仅当 　中每个向量都与 　正交． 当 　　且 　　时，必有 2.3.1 子空间的正交 定理1 设 与 是酉（欧氏）空间V的两个子空间，则 W1与W2正交的充要条件是生成W1与W2的 两个向量组互相正交 ，即 证明：由例1定理显然成立。 例2 设 ，则 例2 设 ，则 证明：令 则 由定理1得 定理2 若W1，W2是酉(欧氏)空间V的正交子空间，则 是直和。 若 ,则 推论 注意：若两个子空间的和是直和，它们不一定正交。 如在R3中， 则W1+W2是直和，但W1与W2不正交。 证明 所以 是直和。 如果欧氏空间V的子空间 　 满足　　　　并且 则称W2为W1的正交补。 定义3 定理3 设 ，则 且 2.3.2 正交补空间 且 证明: ，则存在 ，使得 且 所以 又因为 且 而两子空间正交则子空间的和是直和，即 将(1) 中 换成 即证。 所以 于是 所以 而 定理4 设W1是酉(欧氏)空间V的子空间，则存在惟一的 使得 证明： 设 是W1的标准正交基，将 扩充为V的标准正交基 下面证明惟一性。若存在 W3，使得 由直和分解表达式的唯一性， 则 其中 从而 于是 所以 。同理可证 ，综上 例3 设 求W1的正交补空间W2使得 解法1： 将 扩充为R3的基 ，其中取 将 用施密特正交化方法化为正交基。 例3 设 解法2： 求W1的正交补空间W2使得 由题设可知， 线性无关 根据本节定理1，只需找到 ，使其满足 取 所以W1的正交补空间为