_随机数学_习题解答 第二章答案(wt).doc

第二章 1 证明 根据泊松过程的独立增量及平稳增量性，有 == = = = == 2证明：根据题意知，，的矩母函数分别为 == == 由于与的独立性，则+的矩母函数为 == = 故是参数为+的泊松过程 假设第一个事件恰好在时刻发生，则 == == 故此事件发生的概率与发生的时刻无关，即事件与事件发生的时间独立。 3 解： []= [ [︱]]=︱=]{=} =︱=]{=} == []= []-[] []= [c [︱]]= [︱] {=} = = = 故[]= [注：其中{︱=}服从参数为（,）的二项分布，故{︱=}=, [︱]=(1-)+] * 4解：（a）在[0，]时间内，称一个顾客是型的，如果到时刻他已经被服务完。否则称为型的。设在时刻s以概率被归作I型，而以概率被归作II型，且与其它顾客被归作什么类型是独立的。 假设顾客在时刻进入系统，则他为型的他的服务时间。 故时刻进入系统的顾客属于型的概率为： 记 ：（0，t）内到达的客车数； ：第i辆车的乘客中被归为I型的人数； ：第i辆车的乘客人数； 则， 在，的条件下，，其中 故 （由定理2.2.5,在已知[0，t]内发生n个事件的条件下，各事件发生的时刻可以看作无序的随机变量，它们是独立同分布的且服从[0，t）上的均匀分布.且本题中任一顾客乘座每辆车是等可能的，其服务时间与他乘座第几辆车无关，所以的概率为 ] 由于客车到达序列为泊松过程，每次到达时，顾客的分布为 且到达过程与服务时间是相互独立的，各服务时间之间也是独立的。故 故 (b)因为不满足平稳增量性，故不服从泊松分布。 * 5 证明：对取条件，我们计算，……的联合分布 {=, = ,…=} = {= ,=,…=︱=}{ =} ={=,= ,…=︱=}{=} 现在考虑区间[0,]中发生的任一事件。如果它在时刻发生，则它是型事件的概率是，而由定理可知，此事件发生的时刻在（0，）上均匀分布，故它是一型事件的概率是，与其它事件是什么类型相互独立。因此 {= ,= ,…=︱=} = 从而{=, = ,…=} = = （因为，则） 故相互独立，且分别服从均值为=的泊松分布。 6证明：首先知= ＞0且单增，故存在且单增。要证明{}是泊松过程，即证{}满足定义中的（1）、（2）、（3）、（4）。根据的性质知满足（1）、（2），下证{}满足（3）、（4）。 记= ,则=() 设= ，+=,则由 =(+)-= =+() 则 ==1 即{=1}= 同理可得 {≥2}= 故{}是参数为1的泊松过程。 * 7．解法一 设是更新间距，则其概率密度函数均为 由于，因而 又 故当时， 即 当时，，当时， 即 类似地，计算得 一般地，有 从而 解法二 由逆转公式 以下同解法一 8．解 由于更新过程的更新函数为及更新函数与更新间距的分布函数相互惟一确定，因此是Poisson过程，且更新间距相互独立同服从参数为的指数分布，又 所以 9．证明 设是更新间距，则以为条件可得 * 10． 证明 （1）由于的条件下，相互独立分布，因此是可换的，但在的条件下未必可换. （2）对于 （3） 11．解 设每开出一辆汽车需开支元，则依题设每当一辆汽车开出就完成了一次循环，那么上述更新过程就是一报酬过程，一次循环的平均长度是来到个顾客所需的平均时间，因为平均来到间隔时间是，所以它等于 若记记一次循环中第个顾客与第个顾客来到之间的时间，则一个循环的平均费用为 因此平均费用为 9