高等数学课件8-1.ppt

* 第八章 多元函数微分法及其应用 第一节 多元函数的基本概念 一元函数的定义域可用数轴上的点来 表示，而二元函数的定义域需用平面上的 点来表示. 这里r,h是两个可以独立取值的变量，当r,h取定一对 值 时, 就有确定的V与之对应. 例如，圆柱体的体积 邻域 (Neighborhood) 设P0(x0, y0)是 xOy 平面上的一个点, 几何表示： O x y . P0 令 有时简记为 称为 将邻域去掉中心, 注 称为去心邻域.记为 一、区域 (1) 内点 显然, E的内点属于E. (2) 外点 如果存在点P的某个邻域 则称P为E的 外点. (3) 边界点 如点P的任一邻域内既有属于E的点, 也有不属于E的点, 称P为E的边界点. 任意一点 与任意一点集 之间 必有以下三种关系中的一种: 设E为一平面点集, 若存在 称P为E的 内点. E的边界点的全体称为E的 边界, 记作 使U(P) ∩ E = ?, 聚点 如果对于任意给定的 点P的去心邻域 内总有E中的点 则称P是E的 聚点. 例如, 设点集 (P本身可属于E,也可不 属于E ), 则P为E的内点; 则P为E的边界点, 也是E的聚点. E的边界 为集合 设D是开集. 连通的开集称区域 连通的. 如对D内任何两点, 都可用折线连 且该折线上的点都属于D, 称开集D是 或开区域. 如 都是区域. 开集 若E的任意一点都是内点, 例 称E为开集. E1为开集. 结起来, 开区域连同其边界,称为 有界区域 否则称为 都是闭区域 . 如 总可以被包围在一个以原点为中心、半径 适当大的圆内的区域, 称为有界区域. (可伸展到无限远处的区域 ). 闭区域. 无界区域 n 元有序数组 的全体 n 维空间中的每一个元素 称为空间中 称为该点的第k个坐标. n维空间中两点 的距离定义为 n 维空间中点 记作 及 的?邻域为 n 维空间 n 维空间. 称为 即 的一个点, 按着这个关系有确定的 点集D称为该函数 称为该函数的值域. 则称z是x, y的 定义1 若变量z与D 中的变量x, y之间有一个依赖关系, 设D是xOy平面上的点集, 使得在D内 每取定一个点P(x, y)时, z值与之对应, 记为 称x, y为自变量, 的定义域, 数集 二元(点)函数. 称z为因变量, 二、多元函数的概念 二元及二元以上的函数统称为多元函数. 多元函数定义域 定义域为符合实际意义的 自变量取值的全体. 记为 或 类似, 可定义n元函数. 实际问题中的函数: 自变量取值的全体. 纯数学问题的函数: 定义域为使运算有意义的 函数 在点 处的函数值 例1 求 的定义域． 解 所求定义域为 二元函数 的图形 这个点集称为二元函数的图形. 当x、y取遍D上一切点时，得一个空间点集， 设函数 的定义域为D，对于任意 对应的函数值为 取定的 这样，以 x 为横坐标、y 为纵坐标、z 为竖坐标 在空间就确定一点 二元函数的图形通常是一张曲面 例如, 图形如右图. 例如, 图形是球面. 单值分支: 讨论二元函数 怎样描述呢? O x y (1) P(x, y)趋向于P0(x0, y0)的 路径又是多种多样的. 注 方向有任意多个, O x y 三、多元函数的极限 (2) 动点P(x,y) 总可以用 来表示极限过程: 与定点P0(x0,y0)之间的距离记为 不论 的过程多复杂, 记作 定义2 设二元函数 有 成立. 的极限. P0(x0, y0)是D的聚点. 的定义 义域为D, 如果存在常数 A, 也记作 说明 (2) 二元函数的极限也叫二重极限; (double limit) (1) 定义中 的方式是任意的； (3) 二元函数的极限运算法则与一元函数类似; 称为二次极限. (4) 极限 与 例2 设函数 讨论极限 是否存在. 解 取 其值随k的不同而变化，故极限不存在. 确定极限不存在的方法： 设二元函数 则称函数 定义3 P0(x0, y0)为D的聚点, 且 P0∈D. 如果 连续. 如果函数 f (x, y) 在开区域(闭区域)D内的 每一点连续, 则称函数 在D内连续, 或称函数 是 D内的连续函数. 的定义域为D, 四、多元