2012年高考数学(上海卷).doc

2012年全国普通高等学校招生统一考试（上海卷） 数学试卷 一、填空题（56分）本大题共有14题，考生必须在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分． 计算：_________________（为虚数单位）． 若集合，，则_________________． 函数的值域是_________________． 若是直线的一个法向量，则的倾斜角的大小为_________________（结果用反三角函数值表示）． 在的二项展开式中，常数项等于_________________． 有一列正方体，棱长组成以1为首项、为公比的等比数列，体积分别记为，则_________________． 已知函数（为常数）．若在区间上是增函数，则的取值范围是_________________． 若一个圆锥的侧面展开图是面积为的半圆面，则该圆锥的体积为_________________． 已知是奇函数，且，若，则_________________． 如图，在极坐标系中，过点的直线与极轴的夹角，若将的极坐标方程写成的形式，则_________________． 三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛，若每人都选择其中两个项目，则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是 _________________（结果用最简分数表示）． 在平行四边形中，，边、的长分别为2、1，若分别是边上的点，且满足，则的取值范围是_________________． 已知函数的图象是折线段，其中、、，函数（）的图象与轴围成的图形的面积为_________________． 如图，与是四面体中互相垂直的棱，，若，且，其中为常数，则四面体的体积的最大值是_________________．二、若是关于的实系数方程的一个复数根，则， （B）， （C）， （D）， 在中，若，则的形状是锐角三角形直角三角形钝角三角形不能确定设，，随机变量取值的概率均为，随机变量取值的概率也均为，若记分别为的方差，则 （B） （C） （D）与的大小关系与的取值有关 设，，在中，正数的个数是（ ）（A） 三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤． （本题满分12分）图，在四棱锥中，底面是矩形，底面，是的中点，已知，，，求： 1）三角形的面积； （2）异面直线与所成的角的大小（本题满分1分）已知函数． （1）若，求的取值范围； （2）若是以2为周期的偶函数，且当时，有，求函数（）的反函数． （本题满分1分）海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向为轴正方向建立平面直角坐标系（以1海里为单位长度），则救援船恰好在失事船正南方向12海里处，如图．现假设：失事船的移动路径可视为抛物线；定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援；救援船出发小时后，失事船所在位置的横坐标为． （1）当时，写出失事船所在位置的纵坐标．若此时两船恰好会合，求救援船速度的大小和方向； （2）问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？（本题满分1分）在平面直角坐标系中，已知双曲线． （1）过的左顶点引的一条渐进线的平行线，求该直线与另一条渐进线及轴围成的三角形的面积； （2）设斜率为1的直线交于两点，若与圆相切，求证：； （3）设椭圆，若分别是上的动点，且，求证：到直线的距离是定值． （本题满分1分） 对于数集，其中，，定义向量集，若对任意，存在，使得，则称具有性质．例如具有性质． （1）若，且具有性质，求的值； （2）若具有性质，求证：，且当时，； （3）若具有性质，且（为常数），求有穷数列的通项公式． （为虚数单位） 2、若集合，，则＝ 3、函数的最小正周期是 4、若是直线的一个方向向量，则的倾斜角的大小为 （结果用反三角函数值表示） 5、一个高为2的圆柱，底面周长为，该圆柱的表面积为 6、方程的解是 7、有一列正方体，棱长组成以1为首项、为公比的等比数列，体积分别记为，则 8、在的二项式展开式中，常数项等于 9、已知是奇函数，若且，则 10、满足约束条件的目标函数的最小值是 11、三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛，若每人只选择一个项目，则有且仅有两人选择的项目相同的概率是 （结果用最简分数表示） 12、在矩形中，边、的长分别为2、1，若、分别是边、上的点，且满足，则的取值范围是 13、已知函数的图像是折线段，其中、、，函数（）的图像与轴围成的图形的面积为