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归纳推理 数学归纳法的应用 数学归纳法常用来解决与正整数有关的问题，具有广泛的应用： 1、证明等式； 2、证明不等式； 3、证明整除问题； 4、证明几何问题； * * 2.3数学归纳法 主讲教师：海 欢 人教B版 选修2-2 数学家费马运用归纳法得出费马猜想的事例： 费马(1601--1665)法国伟大的业余数学家。 问题情境一: 费马(1601—1665)： 费马一生从未受过专门的数学教育，数学研究也不过是业余爱好。然而，在17世纪的法国还找不到哪位数学家可以与之匹敌： 他和笛卡尔各自独立创立解析几何； 他创造了作曲线切线的方法，被牛顿奉为微积分的思想先驱； 他研究了掷骰子赌博的输赢规律，从而成为古典概率论的奠基人之一。 费马在丢番图著书的边缘，写下一条注记：“当n2时，xn+yn＝zn没有正整数解，但是边缘太窄写不下我简单的证明。 ”这就是著名的费马大定理。 对定理的证明诞生了两个菲尔兹奖得主，丰富了数论的内容，推动了数论的发展。证明持续了三百多年， 1995年英国数学家安德鲁·怀尔斯完成定理最终的证明。 数学家费马运用归纳法得出费马猜想的事例： 费马(1601--1665)法国伟大的业余数学家。 欧拉(1707～1783)，瑞士数学家及自然科学家。 问题情境一: 不完全归纳法 费马你错了！ 不完全归纳推理 前提为真， 结论可能为真 完全归纳推理 前提为真， 结论一定为真 如何解决不完全归纳法存在的问题呢？ 数学归纳法 一个与自然数相关的命题，如果 （1）当n取第一个值n0时结论正确; （2）在假设当n=k(k∈N+ ,且k≥ n0)时命题成立的前提下,推出当n=k+1时命题也成立，那么可以断定，这个命题对n取第一个值后面的所有正整数成立. 应用探究例题1 发现归纳 得到 猜想 理论证明 发现归纳 科学研究的思维模式 证明: (1) 当n=1时 左＝1，右＝12＝1 ∴n=1时，等式成立 (2) 假设n=k时，等式成立，即1+3+5+…+(2k?1)=k2 那么，当n=k+1时 左＝1+3+5+…+(2k?1)＋[2(k+1)-1] =k2+2k+1 =(k+1)2=右 即n=k+1时等式成立 由(1)、(2)可知等式对任何n?N*都成立 递推基础 递推依据 例2.用数学归纳法证明1+3+5+…+(2n?1)=n2 结论总结 课堂巩固 课堂巩固 小结： (1) 本节课内容是归纳法，重点是数学归纳法； (2) 数学归纳法使用要点可概括为： 两个步骤一结论。 递推基础不可少， 归纳假设要用到， 结论写明莫忘掉； (3) 数学思想方法有：递推思想、类比思想、归纳思想。 练习: 用数学归纳法证明: (1) （2）1+2+22+…+2n-1=2n-1 （3）首项是a1，公比是q的等比数列的通项公式是 an=a1qn-1 ? 对任何n?N*, 2nn2+2 再如:比较2n与n2+2 (n?N*)的大小. 验证可知：n=1、2、3、4都有2nn2+2 如n=5时2nn2+2 * *