如果约束优化问题只有不等式约束.pptVIP

对于n元函数： 的无约束优化问题，点x*为局部极值点的充要条件是： 1、 2、 为正定时（X*）为极小点，为负定时（X*）为极大点， 三、无约束问题最优解的最优性条件 判定正定、负定的方法： 海山矩阵的各主子式的行列式之值为正值。为正定 海山矩阵的各主子式的行列式之值为正值、负值交替排列，为负定。 例:求函数的 极值。 解：根据极值的必要条件求驻点 得驻点： 然后根据极值的充分条件，判断此点是否为极值点 其各项主子式均大于零，海山矩阵为正定矩阵，故：x*为极小点，极小点的值为0。 四、约束问题最优解的最优性条件 的实质在所有的约束条件所形成的可行域内，求得目标函数的极值点，即约束最优点。 最优点与目标函数有关，与约束函数有关，复杂化； 1、等式约束优化问题的极值条件 —— 拉格朗日乘子法 (Lagrange Multipliers) 拉格朗日在1760年首次提出，可以用拉格朗日乘子法求解下面等式约束优化问题 拉格朗日法的主要思路是，借助拉格朗日乘子 ，将约束并入目标函数 ， 构造一个新的无约束的Lagrange函数 根据无约束优化问题的极值的条件可以得到方程组 联立求解上述 个方程，就可求得 和 共 最后一组公式保证了最优解满足约束条件 ，且拉格朗日函数的最优解等价于原优化问题的最优解，即 。 个变量。 解 首先，构造一个Lagrange函数 一般来说，在从等式约束比较多的情况下, 如果从等式中能够解出一个或者多个变量，最好的办法是，利用这些关系，把这些变量从优化问题中消去，就可以降低问题的维数和等式约束数。 例4-1求下列约束优化问题的最优解 Exp.4-2 Solution: First eliminate by . Then which yields the three necessary conditions instead of the five equations in five unknowns which would result from the Lagrangian if written 2、不等式约束的极值条件 —— Kuhn-Tucker条件 用拉格朗日乘子法可以求解等式约束优化问题。根据这个思想，Kuhn和Tucker扩展了该方法，使得可以用它来解决一般的包括等式和不等式约束的优化问题---非线性规划问题。Kuhn-Tucker条件阐述如下。 对于一般的约束优化问题 如果目标函数和约束函数 可微， 是一个可行点， 为可行点 的起作用约束的集合。如果各个 和 彼此线性无关Linearly Independent, 是上述约束优化问题的最优解，则它必定满足下列条件 如果约束优化问题只有等式约束，则K-T 条件成为 可以发现，这时的K-T 条件就是拉格朗日乘子法。 如果约束优化问题只有不等式约束，则K-T 条件成为 3、K-T条件的几何解释： 要求自学教材50-52页 例 4-3 用K-T 条件判断点 和 哪一个是下列约束优化问题的最优点？ 解: 在 点，起作用约束为 ，K-T条件为 满足非负条件 点，起作用约束是 ，K-T条件为 亦满足非负条件 , 所以 是上述约束优化问题的最优点。(满足的不一定是最优) 如果在最优点 ， 和 出现线性相关，就不能保证该约束优化问题在 点一定满足K-T条件。 在 但 * * 3、优化设计某些基本概念和理论 内容 目标函数与约束函数的某些基本性质； 约束函数的集合及其性质； 优化设计问题的最优解及其最优性条件； 优化设计问题的数值解法及收敛条件； Mathematics for optimum 从数学角度讲，最优化问题就是多元函数的求极值问题，它涉及到多元函数的许多理论和基本概念。为了便于后面各章的学习，这里做一些必要的学习和复习。 3.1目标函数与约束函数的某些基本性质 一、函数的等值面（线） 当目标函数f(X)=c。则可以有无限多组设计变量x1,x2…,xn值与之对应。亦即有无限多个设计点对应着相同的函数值，这些点集为等值曲面（线） 例如： 当a0,c0和ac-b20时为一椭圆抛物面，即它是一个