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高等数学Ⅱ综合练习题 1、求二元函数 的定义域。 解：2y-2x0 x0 1-x-y0 由此可得定义域为：D={（x,y)|yx,x0, x+y 1} 2．设函数，求 解： 3．求ln2+e+1 4．求二元函数的极大值。解：极值点（0,0） 极大值：5 Zx= -2x =0 解方程组 { Zy= -2y =0 得驻点（0，0） 再求出二阶偏导数 Zxx= -2 Zyy= -2 在（0，0）处，AC - B2= -2 * -2 =40 又A0,故 函数在该处的极大值为f(0,0) =5 5．求一动点（x，y，z）到两定点（-1，-1，2），（1，2，1）则轨迹方程。P7 所以 2x+3y-z=0 6．求u=xyz的全微分。 解： 所以 du=yzdx+xzdy+xydz 设微分方程的通解，求满足初始条件的特解。P112 解：原式分离变量的： 对两边积分得：{ 因为： 所以： C=ln2 所以： 8.如果积分区域D关于Y轴对称且，求 积分区域D关于y轴对称，则D表示成直角坐标下的不等式组一定形如： D： 把二重积分化为先对x后对y的二次积分，第一次积分区间是[-xy,xy],关于原点对称。 被积函数的x的奇函数，所以第一次积分结果等于0，以被积函数0进行第二次对y的积分，结果仍然是0 解：化简得 求函数f(x,y)=的驻点， 解： =2+2x =-2+2y 令，分别等于0，得驻点为（-1，-1） 11．．设，求 求函数的偏导数。 解： ( =1/2 * 1/(x2+y2+z2)*（x2+y2+z2）’x/y/z) 求由方程所确定的函数z=f(x,y)的全微分 解： 设F（x,y,z）==0 所以： 所以： 14、 计算二重积分 解：原式 求微分方程 解： 对方程进行分离变量得：ydy=-xdx 对两边积分得： 得：y=-x+c 由初始条件得：c= 所以原方程为：x+y=25 求一阶非齐次微分方程的通解。 解： 由题得：p(x)=5,Q(x)=e 所以得： 17、设验证：成立。 解： 求函数的偏导数。 解： 19. 求由方程所确定的函数z=f(x,y)的全微分 解： 20.求微分方程 解： 对方程进行分离变量得：ydy=-xdx 对两边积分得： 得：y=-x+c 由初始条件得：c=8 所以原方程为：x+y=16