合情推理在数学教学中的应用-湛江一中.PPT

师：都有哪些心？内心，外心，重心，垂心。分别有哪些性质？…… 我们先来根据心的性质和题目的不同去猜想，这几个心该会分别填在哪个空里? 点S到A,B,C距离相等，那么它的射影O会有什么类似性质？O到A,B,C距离会不会也相等呢？你觉得O会是的什么心？ SA、SB、SC两两垂直，它们在平面ABC内的射影OA,OB,OC会有什么性质? 你觉得O会是的什么心？ S到三边的距离相等，则点O到三边的距离会不会也相等呢？你觉得O会是的什么心？ 以上猜想，你能证明吗？ 案例分析：同一道题目,不同的教师有不同的教法。如果只是刻板地由已知推证结论，所有老师都会教。至于教学效果，就很难说。而该设计中，教师先唤起学生对三角形的心的回忆，再引发他们根据题意中给出关于S点的条件不同，对其射影O的位置进行类比猜想，学生兴趣大增，纷纷抢答。活跃了课堂气氛，充分调动了学生的数学思维。之后，教师再要求学生对自己的猜想给出严格证明，学生全情投入，全力以赴。在三道题师生共同证明完毕后，教师可以引导学生归纳出解决这类问题的常用方法，得出常规结论（如共点的斜线段长与射影长的关系）。 案例分析：教师不仅要教会学生每一道题目具体怎样做，而要教给学生为什么这样做，教会他们无论做题之前还是做题之后，都要先学会怎样从宏观整体的角度看待这一类题型，它们的内在联系是什么。这些都要求教师自己有善于发现的眼睛和善于归纳的数学推理思维能力。这种让学生先猜想，后证明，再归纳的教学模式，有助于培养学生勇于开拓的精神，培养他们探索求真的能力。 知识背景：《必修二》第四章《圆与方程》复习与拓展。 案例分析：很多聪明的学生已经从参考书上看到例题1的解法，方程的思想在解析几何中的应用，这是一道典型例题。学生可以很明确地得出：两相交圆的方程相减，能得到相交弦所在直线方程(前题是平方项系数相同)。例题2中两圆相离，解法貌似与例题1无甚关联，但通过问题一和问题二，让学生进行合理的猜想，发现，当两圆相离时，两圆方程相减，还是可以得到一条直线方程。当两圆半径相同时，这条直线正好是这两圆的对称轴所在直线。这也为求两半径形同的圆的对称轴直线方程提供了另一种非常简便的方法。于是有学生在问题二尚未思考时，嚷出后面那道练习题的解法：既然相减得到的直线是对称轴，那么知道了圆和直线，求对称圆，直接把圆与直线方程相加行不行？这真是一种新奇的想法，一种可贵的逆向思维，连教师自己也觉得是个好点子，提议同学们不妨尝试。但片刻后有同学否认了这种方法，因为他们发现，直线方程有时候会约分了一个系数，再和圆相加，得不到已知圆关于已知直线的对称圆方程。所以上面的练习题只能是用常规方法，先求出圆心关于直线的对称点，再求圆方程。那么这个直线方程中约分了的系数和已知圆的方程有没有必然联系呢？有待读者深入探究。 问题二该如何解决呢？这个问题的设置极大地引起了学生们的探究和猜想热情。他们很快猜出，当两圆相切时，方程相减，消去二次项，能得到过切点的公切线所在直线方程；那么相离时，得到的是什么呢？教师可提示他们课后用圆的切割线定理，对相交的情况进行探究，再推广到相切和相离。果然有几位学生在课后几天的时间不断得出新的相关结论，最终推证出正确结论：两圆方程相减，消去二次项，得到的直线方程是到两圆切线长相等的点的轨迹。（结论参见罗碎海老师所著《数学探究与欣赏》，P122页。） 教会学生解答可能仅仅是数学或实验技能问题，而让他们提出新问题、新的可能性，从新的角度去思考和解决问题，则能够拓展学生的思维空间，真正提高学生的数学思维能力。 上述案例中合情推理问题的设置，引导学生在课堂上进行猜想，有对有错，在课后对自己的猜想进行交流和论证，正是鼓励学生积极思考，培养他们从小就勇于探索，敢于深入进行数学研究的钻研精神和严谨的治学精神。当然，以上的案例中，这样的问题设置还不一定是最佳方案，不同的教师可能会有更好的推理设置方案。怎样使引导学生进行合情推理的问题设置得层次更分明，逻辑更严密，是我们在教学中不断探求不断反思的问题。 知识背景：高三第一轮复习,数列求和：裂项相消法。 知识背景：高三第一轮复习,数列求和：裂项相消法。 案例分析：用裂项相消法进行数列求和一直是高考重点。上述案例中例题1和练习1是高考常考题型，师生们想必都知道其要点何在。练习2将分母拓展成三项相乘，猜想要点是，将三项之积裂成连续两项之积相减，聪明的学生也应该很快可以猜到。例题2摇身一变，原来的分母变成了分子，该如何裂成连续两项之差呢？教师可以适当给出提示，将两项之积裂成两个连续三项之积相减。如此，学生对拓展1也应该很快可以猜出裂项的方案。拓展2的结论，是文理科常用公式，部分教师只知道可以用数学归纳法证明它，却不知道可以用裂项相消法推出它 . 有经验的教师还可以将以上案例继续拓展得更广。课堂教学中，如何将