2018版高中数学第三章空间向量与立体几何3.2.2平面的法向量与平面的向量表示学案新人教B版选修.docVIP

3．2.2　平面的法向量与平面的向量表示 学习目标　1.理解平面的法向量的概念，会求平面的法向量.2.会用平面的法向量证明平面与平面平行、垂直.3.理解并会应用三垂线定理及其逆定理，证明有关垂直问题． 知识点一　平面的法向量 思考　平面的法向量有何作用？是否唯一？ 梳理　平面的法向量 已知平面α，如果________________________________，则向量n叫做平面α的法向量或说向量n与平面α正交． 知识点二　平面的向量表示 设A是空间任一点，n为空间内任一非零向量，则适合条件____________的点M的集合构成的图形是过空间内一点A并且与n垂直的平面．这个式子称为一个平面的向量表示式． 知识点三　两平面平行或垂直的判定及三垂线定理 1．两平面平行或垂直的判定方法 设n1，n2分别是平面α，β的法向量，则容易得到 α∥β或α与β重合____________； α⊥β__________?__________. 2．三垂线定理 如果在平面内的一条直线与平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，则它也和这条斜线垂直． 类型一　求平面的法向量 例1　如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．AB＝AP＝1，AD＝，试建立恰当的空间直角坐标系，求平面ACE的一个法向量． 引申探究 若本例条件不变，试求直线PC的一个方向向量和平面PCD的一个法向量．　 反思与感悟　利用待定系数法求平面法向量的步骤 (1)设向量：设平面的法向量为n＝(x，y，z)． (2)选向量：在平面内选取两个不共线向量，. (3)列方程组：由列出方程组． (4)解方程组： (5)赋非零值：取其中一个为非零值(常取±1)． (6)得结论：得到平面的一个法向量． 跟踪训练1　如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是矩形．平面PAB⊥平面ABCD，△PAB是边长为1的正三角形，ABCD是菱形．∠ABC＝60°，E是PC的中点，F是AB的中点，试建立恰当的空间直角坐标系，求平面DEF的法向量． 类型二　利用空间向量证明平行问题 例2　已知正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为2，E，F分别是BB1，DD1的中点，求证： (1)FC1∥平面ADE； (2)平面ADE∥平面B1C1F. 反思与感悟　利用向量证明平行问题，可以先建立空间直角坐标系，求出直线的方向向量和平面的法向量，然后根据向量之间的关系证明平行问题． 跟踪训练2　如图，在四棱锥P—ABCD中，PA⊥平面ABCD，PB与底面所成的角为45°，底面ABCD为直角梯形，∠ABC＝∠BAD＝90°，PA＝BC＝AD＝1，问在棱PD上是否存在一点E，使CE∥平面PAB？若存在，求出E点的位置；若不存在，请说明理由． 类型三　三垂线定理及应用 例3　在正方体ABCD—A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，E为CC1的中点．求证：EO⊥平面A1DB. 反思与感悟　利用三垂线定理及其逆定理证明线线垂直是一种常用方法，其基本环节有三个． 跟踪训练3　如图，已知PO⊥平面ABC，且O为△ABC的垂心，求证：AB⊥PC. 1．若直线l∥α，且l的方向向量为(2，m，1)，平面α的法向量为，则m为(　　) A．－4 B．－6 C．－8 D．8 2．若两个不同平面α，β的法向量分别为u＝(1，2，－1)，v＝(－3，－6，3)，则(　　) A．α∥β B．α⊥β C．α，β相交但不垂直 D．以上均不正确 3．若a＝(1，2，3)是平面γ的一个法向量，则下列向量中能作为平面γ的法向量的是(　　) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A．(0，1，2) B．(3，6，9) C．(－1，－2，3) D．(3，6，8) 4．已知平面α的法向量是(2，3，－1)，平面β的法向量是(4，λ，－2)，若α∥β，则λ的值是(　　) A．－ B．6 C．－6 D. 5．在正方体ABCD—A1B1C1D1中，平面ACD1的一个法向量为________． 1．用法向量来解决平面与平面的关系问题，思路清楚，不必考虑图形的位置关系，只需通过向量运算，就可得到要证明的结果． 2．利用三垂线定理证明线线垂直，需先找到平面的一条垂线，有了垂线，才能作出斜线的射影，同时要注意定理中的“平面内的一条直线”这一条件，忽视这一条件，就会产生错误结果． 提醒：完成作业　第三章　3.2.2  问题导学 知识点一 思考　平面的法向量与空间一点可以确定一个平面，利用平面的法向量可以判断直线与平面、平面与平面的位置关系． 平面的法向量不唯一，它们都是共线的． 梳理　向量n的基线与平面α垂直 知识点二 ·n＝0 知识点三 1．n1∥n2　n1⊥n2　n1·n2＝0 题型探究 例1　解　因为PA⊥平