2018版高中数学第三章空间向量与立体几何3.2.1直线的方向向量与直线的向量方程学案新人教B版选修.docVIP

3.2.1　直线的方向向量与直线的向量方程 学习目标　1.理解直线的方向向量，了解直线的向量方程.2.会用向量方法证明线线、线面、面面的平行.3.会用向量证明两条直线垂直.4.会利用向量求两条直线所成的角． 知识点一　用向量表示直线或点在直线上的位置 思考　在平面中，可以用向量确定平面上一点的位置或点的集合．空间中一点的位置或点的集合怎样确定？ 梳理　用向量表示直线或点在直线上的位置 (1)在直线l上给定一个定点A和它的一个方向向量a，对于直线l上的任意一点P，则有＝________或＝________或＝________(＝a)， 上面三个向量等式都叫做空间直线的______________．向量a称为该直线的方向向量． (2)线段AB的中点M的向量表达式＝__________________. 知识点二　用向量方法证明直线与直线平行、直线与平面平行、平面与平面平行 1．设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则由向量共线的条件，得l1∥l2或l1与l2重合__________. 2．已知两个不共线向量v1，v2与平面α共面，一条直线l的一个方向向量为v，则由共面向量定理，可得 l∥α或l在α内________________________________. 3．已知两个不共线向量v1，v2与平面α共面，则由两平面平行的判定与性质，得 α∥β或α与β重合________________. 知识点三　用向量运算证明两条直线垂直或求两条直线所成的角 1．用向量运算证明两条直线垂直或求两条直线所成的角 设两条直线所成的角为θ，ν1和ν2分别是l1和l2的方向向量，则l1⊥l2________，cos θ＝__________. 2．求两直线所成的角应注意的问题 在已知的两条直线上(或同方向上)取两条直线的方向向量v1，v2，所以cos〈v1，v2〉＝.但要注意，两直线的夹角与〈v1，v2〉并不完全相同，当〈v1，v2〉为钝角时，应取其________作为两直线的夹角． 类型一　空间中点的位置确定 例1　已知点A(2，4，0)，B(1，3，3)，如图，以的方向为正向，在直线AB上建立一条数轴，P，Q为轴上的两点，且分别满足条件： (1)AP∶PB＝1∶2； (2)AQ∶QB＝2. 求点P和点Q的坐标． 反思与感悟　确定点的坐标可利用向量运算根据两个向量相等列方程解得． 跟踪训练1　已知点A(4，1，3)，B(2，－5，1)，C为线段AB上一点且＝，则点C的坐标为(　　) A. B. C. D. 类型二　向量方法处理平行问题 例2　如图，已知正方体ABCDA′B′C′D′，点M，N分别是面对角线A′B与面对角线A′C′的中点．求证：MN∥侧面AD′；MN∥AD′，并且MN＝AD′. 反思与感悟　(1)直线与直线平行、直线与平面平行的向量证法根据是空间向量共线、共面定理． (2)利用直线的方向向量证明直线与直线平行、直线与平面平行时，要注意向量所在的直线与所证直线或平面无公共点． 跟踪训练2　(1)在长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB＝3，AD＝4，AA1＝2.点M在棱BB1上，且BM＝2MB1，点S在DD1上，且SD1＝2SD，点N，R分别为A1D1，BC的中点，求证：MN∥RS. (2) 如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB＝，AF＝1，M是线段EF的中点．求证：AM∥平面BDE. 类型三　两直线所成的角的求解 例3　已知三棱锥O—ABC(如图)，OA＝4，OB＝5，OC＝3，∠AOB＝∠BOC＝60°，∠COA＝90°，M，N分别是棱OA，BC的中点．求直线MN与AC所成角的余弦值． 反思与感悟　向量所成角与异面直线所成角的差异：向量所成角的范围是[0，π]，而异面直线所成角的范围是，故异面直线所成角的余弦值一定大于等于0. 跟踪训练3　长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB＝4，BC＝BB1＝2，E，F分别是面A1B1C1D1与面B1BCC1的中心，求异面直线AF与BE所成角的余弦值． 1．若直线l1、l2的方向向量分别为a＝(1，2，－2)，b＝(－2，3，2)，则(　　) A．l1∥l2 B．l1⊥l2 C．l1、l2相交但不垂直 D．不能确定 2．设l1的方向向量a＝(1，3，－2)，l2的方向向量b＝(－4，3，m)，若l1⊥l2，则m等于(　　) A．1 B. C. D．3 3．若A(－1，0，1)，B(1，4，7)在直线l上，则直线l的一个方向向量为(　　) A．(1，2，3) B．(1，3，2) C．(2，1，3) D．(3，2，1) 4．已知向量a＝(4－2m，m－1，m－1)，b＝(4，2－2m，2－2m)，若a∥b，则实数m的值为(　　) A．1