2018版高中数学第三章空间向量与立体几何3.1.3两个向量的数量积课件新人教B版选修.pptVIP

因为∠BAD＝90°，∠BAA1＝∠DAA1＝60°， 反思与感悟 利用向量的数量积求两点间的距离，可以转化为求向量的模的问题，其基本思路是先选择以两点为端点的向量，将此向量表示为几个已知向量的和的形式，求出这几个已知向量的两两之间的夹角以及它们的模，利用公式|a|＝ 求解即可. 跟踪训练4　如图，已知线段AB⊥平面α，BC?α，CD⊥BC，DF⊥平面α，且∠DCF＝30°，D与A在α的同侧，若AB＝BC＝CD＝2，求A，D两点间的距离. 解答 ＝12＋2(2·2·cos 90°＋2·2·cos 120°＋2·2·cos 90°)＝8， 第三章 3.1　空间向量及其运算 3.1.3　两个向量的数量积 1.掌握空间向量夹角概念及表示方法. 2.掌握两个向量的数量积的概念、性质、计算方法及运算规律. 3.掌握两个向量的数量积的主要用途，能运用数量积求向量夹角 和判断向量的共线与垂直. 学习目标 题型探究 问题导学 内容索引 当堂训练 问题导学 知识点一　两个向量的数量积 思考1 如图所示，在空间四边形OABC中，OA＝8，AB＝6，AC＝4，BC＝5，∠OAC＝45°，∠OAB＝60°，类比平面向量有关运算，如何求向量 与 的数量积？并总结求两个向量数量积的方法. 答案 求两个向量的数量积需先确定这两个向量的模和夹角，当夹角和长度不确定时，可用已知夹角和长度的向量来表示该向量，再代入计算. 思考2 等边△ABC中， 与 的夹角是多少？ 答案 120°. 梳理 (1)定义：已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数量积(或内积)，记作a·b. (2)数量积的运算律 数乘向量与向量 数量积的结合律 (λa)·b＝______ 交换律 a·b＝_____ 分配律 (a＋b)·c＝________ λ(a·b) b·a a·c＋b·c 知识点二　两个向量的夹角 (1)定义：已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作 ＝a， ＝b，则 叫做向量a与b的夹角，记作〈a，b〉. (2)范围：〈a，b〉∈ .特别地：当〈a，b〉＝ 时，a⊥b. [0，π] ∠AOB 知识点三　两个向量的数量积的性质 两个向量数 量积的性质 ①若a，b是非零向量，则a⊥b?______ ②若a与b同向，则a·b＝____；若反向，则a·b＝______. 特别地，a·a＝___或|a|＝ ③若θ为a，b的夹角，则cos θ＝____ ④|a·b|≤|a|·|b| |a|2 |a|·|b| －|a|·|b| a·b＝0 题型探究 命题角度1　空间向量数量积的基本运算 例1　(1)下列命题是否正确？正确的请给出证明，不正确的给予说明. ①p2·q2＝(p·q)2； 解答 类型一　空间向量的数量积运算 此命题不正确. ∵p2·q2＝|p|2·|q|2， 而(p·q)2＝(|p|·|q|·cos〈p，q〉)2 ＝| p|2·|q|2·cos2〈p，q〉， ∴当且仅当 p∥q时，p2·q2＝(p·q)2. ②| p＋q|·| p－q|＝| p2－q2|； 解答 此命题不正确. ∵| p2－q2|＝|( p＋q)·( p－q)| ＝| p＋q|·| p－q|·|cos〈p＋q，p－q〉|， ∴当且仅当( p＋q)∥( p－q)时， | p2－q2|＝| p＋q|·| p－q|. ③若a与(a·b)·c－(a·c)·b均不为0，则它们垂直. 解答 此命题正确. ∵a·[(a·b)·c－(a·c)·b]＝a·(a·b)·c－a·(a·c)·b＝(a·b)(a·c)－(a·b)(a·c)＝0， 且a与(a·b)·c－(a·c)·b均为非零向量， ∴a与(a·b)·c－(a·c)·b垂直. (2)设θ＝〈a，b〉＝120°，|a|＝3，|b|＝4，求： ①a·b； 解答 ∵a·b＝|a||b|cos〈a，b〉， ∴a·b＝3×4×cos 120°＝－6. ②(3a－2b)·(a＋2b). 解答 ∵(3a－2b)·(a＋2b)＝3|a|2＋4a·b－4|b|2 ＝3|a|2＋4|a||b|cos 120°－4|b|2， ∴(3a－2b)·(a＋2b)＝3×9＋4×3×4×(－ )－4×16＝27－24－64＝－61. (1)已知a，b的模及a与b的夹角，直接代入数量积的公式计算. (2)如果欲求的是关于a与b的多项式形式的数量积，可以先利用数量积的运算律将多项式展开，再利用a·a＝|a|2及数量积公式进行计算. 反思与感悟