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高 考 数 学 大 题 训 练9 1．已知函数，其中，的定义域． （）求函数的定义域； （）若函数的最小值为，求的值； （）,不等式＜恒成立,求实数的取值范围 2．（本题满分14分）已知函数． （Ⅰ）当时，函数取得极大值，求实数的值； （Ⅱ）在区间内存在导数，则存在，使得. 试用这个结论证明：若函数（其中），则对任意，都有； （Ⅲ）满足，求证：对任意的实数，若时，都有. 3.（Ⅰ），且 所以，得，此时. 当时，，函数在区间上单调递增； 当时，，函数在区间上单调递减. 函数在处取得极大值，故 …………………………4分 （Ⅱ）， 则. 因为函数在区间上可导，则根据结论可知：存在 使得 …………………………7分 又， 当时，，从而单调递增，； 当时，，从而单调递减，； 故对任意，都有 . …………………………9分[来源:学+科+网] （Ⅲ），， 同理， …………………………12分 由（Ⅱ）知对任意，都有，从而 ． …………………………14分 3.（本小题满分13分）如图所示，四棱锥中， 底面是边长为2的菱形，是棱上的动点． （Ⅰ）若是的中点，求证：//平面； （Ⅱ）若，求证：； （III）在（Ⅱ）的条件下，若 ， 求四棱锥的体积． 3．（Ⅰ）证明:连结，交于． 因为底面为菱形， 所以为的中点． 因为 是的中点，所以 ， 因为平面，平面， 所以平面． …………………4分 （Ⅱ）证明：因为底面为菱形， 所以，为的中点． 因为，所以 ． 因为，所以 平面．因为平面， 所以 ． ………………………………8分 （Ⅲ）因为，所以△为等腰三角形 ． 因为为的中点，所以． 由（Ⅱ）知，且， 所以平面，即为四棱锥的高． 因为四边形是边长为2的菱形，且， 所以． 所以 ． ……………12分 4．（本小题满分14分）已知函数，其中 （Ⅰ）求在上的单调区间； （Ⅱ）求在（为自然对数的底数）上的最大值； （III）对任意给定的正实数，曲线上是否存在两点、，使得是 以原点为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在轴上？ 4.（Ⅰ）因为 当时，， 解得到；解得到或．所以在上的单调减区间为， ：单调增区间为 ………………4分[来源:Zxxk.Com]2．……………………6分 ②当时，，当时，在上单调递增，所以在上的最大值为．所以当时，在上的最大值为；当时，在上的最大值为2. …………………………8分 （Ⅲ）假设曲线上存在两点，使得是以为直角顶点的直角三角形，则只能在轴的两侧，不妨设，则，且． …9分 因为是以为直角顶点的直角三角形，所以， 即：（1） ……………………………………10分 是否存在点等价于方程（1）是否有解．[来源:学科网ZXXK] 第题图