一中高二数学2012春学期第十三周45分钟专题训练.docVIP

一中高二数学2012春学期第十三周45分钟专题训练 班级 姓名 成绩 一．填空题(本大题共6小题，每小题10分，共60 分 1．设a∈R，若函数y＝ex＋ax，x∈R有大于零的极值点，则a的取值范围为____________． 2．f(x)＝x(x－c)2在x＝2处有极大值，则常数c＝___．如果函数y＝f(x)的图象如图所示，那么导函数y＝f′(x)的图象可能是____________． ．若a2，则方程x3－ax2＋1＝0在(0,2)上恰好有________个根． ．已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋c，其导函数f′(x)的图象如图，则函数f(x)的极小值是__________． ．设函数f(x)＝x3－2ex2＋mx－lnx，记g(x)＝，若函数g(x)至少存在一个零点，则实数m的取值范围是________． ．已知函数f(x)＝x3－x2＋bx＋a(a，b∈R)，且其导函数f′(x)的图象过原点． (1)当a＝1时，求函数f(x)的图象在x＝3处的切线方程； (2)若存在x0，使得f′(x)＝－9，求a的最大值； (3)当a0时，求函数f(x)的零点个数． ．已知函数f(x)＝－x3＋ax2＋1(a∈R)． (1)若在f(x)的图象上横坐标为的点处存在垂直于y轴的切线，求a的值； (2)若f(x)在区间(－2,3)内有两个不同的极值点，求a的取值范围； (3)在(1)的条件下，是否存在实数m，使得函数g(x)＝x4－5x3＋(2－m)x2＋1的图象与函数f(x)的图象恰有三个交点？若存在，求出实数m的值，若不存在，说明理由a－1① 4 1 5 c 6 (－∞，e2＋] 解：f(x)＝x3－x2＋bx＋a，f′(x)＝x2－(a＋1)x＋b. 由f′(0)＝0，得b＝0，f′(x)＝x(x－a－1)． (1)当a＝1时，f(x)＝x3－x2＋1，f′(x)＝x(x－2)，f(3)＝1，f′(3)＝3， 所以函数f(x)的图象在x＝3处的切线方程为y－1＝3(x－3)， 即3x－y－8＝0. (2)存在x0，使得f′(x)＝x(x－a－1)＝－9， －a－1＝－x－＝(－x)＋(－)≥2＝6，a≤－7. 当且仅当x＝－3时，a＝－7.所以a的最大值为－7. (3)当a0时，x，f′(x)，f(x)的变化情况如下表： x (－∞，0) 0 (0，a＋1) a＋1 (a＋1，＋∞) f′(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x)  极大值  极小值  故f(x)的极大值f(0)＝a0， f(x)的极小值f(a＋1)＝a－(a＋1)3 ＝－[a3＋3(a－)2＋]0. 又f(－2)＝－a－0，f(x)＝x2[x－(a＋1)]＋a， f((a＋1))＝a0. 所以函数f(x)在区间(－2,0)，(0，a＋1)，(a＋1，(a＋1))内各有一个零点， 故函数f(x)共有三个零点． 解：(1)依题意，f′()＝0，∵f′(x)＝－3x2＋2ax， ∴－3×()2＋2·a·＝0，∴a＝1. (2)若f(x)在区间(－2,3)内有两个不同的极值点， 则方程f′(x)＝0在区间(－2,3)内有两个不同的实根， ∴解得－3a且a≠0. 当a＝0时，f(x)＝－x3＋1无极值点， ∴a的取值范围为(－3,0)∪(0，)． (3)在(1)的条件下，a＝1，要使函数f(x)与g(x)＝x4－5x3＋(2－m)x2＋1的图象恰有三个交点，等价于方程－x3＋x2＋1＝x4－5x3＋(2－m)x2＋1，即方程x2(x2－4x＋1－m)＝0恰有三个不同的实根．∵x＝0是一个根，∴应使方程x2－4x＋1－m＝0有两个非零的不等实根，由Δ＝16－4(1－m)0，且1－m≠0，解得m－3，且m≠1， ∴存在m∈(－3,1)∪(1，＋∞)，使函数f(x)与g(x)＝x4－5x3＋(2－m)x2＋1的图象恰有三个交点.