十四 空间向量与立体几何.docVIP

十四 空间向量与立体几何 一、空间向量及其运算、空间直角坐标系 1 空间向量的基本知识 （1）向量：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。 （2）共线向量定理： 对空间任意两个向量a、b(b≠0), a∥b的充要条件是存在实数λ，使a=λb。 （3）共面向量定理： 如果两个向量a、b不共线，向量p与向量a、b共面的充要条件是存在实数对x、y，使p=xa+yb. （4）空间向量基本定理：如果三个向量a、b、c不共面，那么对空间任一向量p，存在一个唯一的有序实数组x、y、z，使p=xa+yb+zc。 （5）空间两向量的夹角： （6）两向量的数量积： 运算律： 2（1）空间两点的距离公式：、 （2）关于对称点坐标的求法： ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ （3）向量的坐标运算： ① A（x1,y1,z1）,B(x2,y2,z2)，则=(x2-x1,y2-y1,z2-z1) ②若a=(a1,a2,a3), b=(b1,b2,b3)，则a+ b=（a1+ b1），a2+ b2，a3+ b3），；a- b=（a1- b1），a2- b2，a3-b3），； a∥ba、b的坐标对应成比例； 例1 已知正方体的棱长为1，，点N为B1B的中点，则|MN|=( ). 例2 已知a=（2，-1,3），b=（1,0，-2）（1）计算a-2b；（2）是否存在实数λ，使a+λb 与z轴垂直，若存在求之；若不存在，说明你的理由。 例3 在棱长为1的正方体中，M、N分别为A1B1和BB1的中点，那么直线AM与CN所成的角的余弦值等于（ ）。 二立体几何中的向量方法 1 平面的法向量：a，那么向量a叫做平面的法向量。 法向量的求法： 2 利用空间向量解决立体几何中的平行与垂直问题。 （1）两条直线平行两直线的方向向量是共线向量。 （2）线面平行①直线的方向向量与平面的法向量垂直；②能够在平面内找到一个向量与已知直线的方向向量共线；③直线的方向向量与平面内的两个不共线向量是共面向量。 （3）面面平行①转化为线线平行、线面平行处理；②两平面的法向量平行。 （4）线线垂直两直线的方向向量互相垂直。 （5）线面垂直①直线的方向向量与平面的法向量是共线向量；②直线与平面内的两个吧共线的向量垂直。 （6）面面垂直①转化为线线垂直、线面垂直处理；②两平面的法向量互相垂直。 3 利用空间向量求角 （1）线线角：两异面直线a,b所成的角为两直线方向向量所成的角或其补角。 （2）线面角：斜线与平面法向量所成的角（或其补角）的余角。 （3）二面角：两平面法向量所成的角或其补角。 4 利用向量处理距离问题 （1）两点距离： （2）点线距离： （3）点面距离：d=（A是平面外一点，B是平面上任意一点） （4）异面直线间的距离d=（A是直线a上一点，B是直线b上一点，是直线a、b的公垂向量） 例4 在正方体中，G、E、F分别为AA1、AB、BC的中点，求平面GEF的法向量。 例5 正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，CEAC,EF∥AC,AB=,CE=EF=1.(1)求证：AF∥平面BDE; (2)求证：CF平面BDE; （3）求二面角A-BE-D的大小。 例6 已知点P在正方体的对角线BD’上，。（1）求DP与CC’所成角的大小； （2）求DP与平面AA’D’D所成角的大小。 练习 1 已知{a，b，c}是空间一个基底，p=a+b,q=a-b,一定可以与向量p、q构成空间另一基底的是（ ）。 A. a B. b C. c D.无法确定 2 已知A(2，-5，1),B(2，-2，4),C(1，-4，1),则与的夹角为（ ） A. 30° B. 45° C. 60° D. 90° 3 在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1=BC=AB=2，ABBC,求二面角B1-A1C-C1的大小。 4 在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA平面ABCD,PA=AD=4，AB=2.以BD的中点O为球心、BD为直径的球面交PD于点M。（1）求证：平面ABM平面PCD;(2)求直线PC与平面ABM所成的角的正弦值；（3）求点O到平面ABM的距离。 空间向量与立体几何参考答案 例1 A 例2 （1）（0，-1,7） （