第五讲巧求面积.doc

第五讲 巧求面积 　　本讲主要介绍平面图形面积的一些巧妙算法，首先看一个例子． 　　如图，BC=CE，AD=CD，求三角形ABC的面积是三角形CDE面积的几倍？ 　　解：连结BD，在△ABD与△BCD中，因为AD=DC，又因为这两个三角形的高是同一条高，所以S△ABD=S△BCD．在△BCD与△DCE中，因为BC=CE，又因为这两个三角形也具有同一条高，所以有S△BCD=S△CDE．因此，S△ABC=S△ABD+S△BCD=2S△CDE． 　　从以上的推导中看一看这两个三角形面积之比与这两个三角形的边有什么关系． 因为三角形的面积=×底×高，作ＤＮ垂直ＣＥ于Ｎ，ＡＭ垂直ＣＥ于Ｍ，如下图： 　　　　　　　　　　　　 ，， 　　在△ACM与△DCN中，有AC∶CD=AM∶DN．因此， 　　。 　　即，当两个三角形各有一个角，它们的和是180°时，这两个三角形的面积之比等于分别夹这两个角的两条边的长度乘积之比． 　　类似可知，当两个三角形各有一个角，它们相等时，这个结论也成立． 　　解：在△ABC与△CDE中，因为AD=DC，所以 AC=2CD，又因为BC=CE，所以S△ABC=2×1×S△CDE=2S△CDE． 　　答：△ABC的面积是△CDE面积的2倍． 　　下面我们就应用上面这个结论来看几个具体例子． 　　例1 如图，三角形ABC的面积为1，并且AE=3AB，BD=2BC，那么△BDE的面积是多少？ 　　　　　　　　　　 　　解：在△BDE与△ABC中，∠DBE+∠ABC=180°．因为AE=3AB，所以BE=2AB．又因为BD=2BC，所以S△BDE=2×2×S△ABC=4×1=4． 　　答：△BDE的面积是4． 　　例2 如图，在△ABC中，AB是AD的6倍，AC是AE的3倍．如果△ADE的面积等于1平方厘米，那么△ABC的面积是多少？ 　　　　　　　　　　　　 　　解：在△ABC与△ADE中，∠BAC=∠DAE．因为AB=6AD，AC=3AE，所以S△ABC=6×3×S△ADE=18×1=18（平方厘米）． 　　答：△ABC的面积为 18平方厘米． 　　例3 如图，将△ABC的各边都延长一倍至 A′、 B′、 C′，连接这些点，得到一个新的三角形A′B′C′．若△ABC的面积为1，求△A′B′C′的面积． 　　　　　　　　　　 　　解：在△A′B′B与△ABC中，∠A′BB′+∠ABC=180°．因为 AB=AA′，所以A′B=2AB，又因为B′B=BC，所以S△A′B′B=1×2×S△ABC=2S△ABC=2． 　　同理S△B′C′C=2×1×S△ABC=2． 　　S△A′C′A=2×1×S△ABC=2． 　　所以S△A′B′C′=S△A′B′B+S△B′C′C+S△A′C′A+S△ABC 　　=2+2+2+1 　　=7 　　答：△A′B′C′的面积为7． 　　例4 如下图，将凸四边形ABCD的各边都延长一倍至 A′、B′、 C′、D′，连接这些点得到一个新的四边形A′B′C′D′，若四边形A′B′C′D′的面积为30平方厘米，那么四边形ABCD的面积是多少？ 　　　　　　　　 　　分析 要求四边形ABCD的面积，必须求出四边形ABCD与四边形A′B′C′D′的关系，因而就要求出△A′B′B、△B′C′C、△C′D′D、△A′D′A与四边形ABCD的关系． 　　解：连结AC、BD． 　　在△A′B′B与△ABC中，∠A′BB′+∠ABC=180°．因为A′A=AB，所以A′B=2AB，又因为 B′B=BC，所以有S△A′B′B=2×1×S△ABC=2S△ABC． 　　同理 有S△B′C′C=2×1×S△BCD=2S△BCD 　　S△C′D′D=2×1×S△ADC=2S△ADC 　　S△A′D′A=2×1×S△ABD=2S△ABD． 　　所以 S四边形A′B′C′D′=S△A′B′B+S△B′C′C+S△C′D′D+S△A′D′A+S四边形ABCD 　　=2S△ABC+2S△BCD+2S△ADC+2S△ABD+S四边形ABCD 　　=2（S△ABC+S△ADC）+2（S△BCD+S△ABD）+S四边形ABCD 　　=2S四边形ABCD+2S四边形ABCD+S四边形ABCD 　　=5S四边形ABCD 　　则S四边形ABCD=30÷5=6（平方厘米）． 　　答：四边形ABCD的面积为6平方厘米． 　　例5 如下图，在△ABC中，BD=DC，AA1=AD，A1B1=A1B，B1C1=C1C，△A1B1C1的面积为1平方厘米，则△ABC的面积为多少平方厘米？ 　　解：连接A1C．如上图 　　在△BB1C与△A1B1C1中，∠BB1C+∠A1B