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平差重点知识点
2.8.1 边角网按条件平差
(1) 边角网中的条件
边角网的建网方法有四种,即在测角网的基础上加测部分边;在测边网的基础上加测部分角;观测部分边和部分角;观测全部边长和角度。由于边角网既测边长又测角度,因此它具有三角网条件,测边网条件及由边、角两类观测量共同组成的边角条件,具体有以下几种:
a. 独立三角网条件
用角度组成的三角网图形、圆周闭合和极三种条件;
b.独立测边网条件
用边长组成的测边网的图形条件;c.边、角条件
由观测边长和观测角度共同组成的正弦条件或余弦条件;
d. 附合网条件
它包括测角网或测边网中的坐标方位角(固定角)、坐标及基线(固定边)(测边网除外)三种条件。
在以上条件中,a、b、d三类条件分别在测角网、测边网及导线网中做了讨论,现讨论C种条件式的组成。
正弦条件方程式的组成
正弦条件是指平差图形中观测角和观测边的平差值应满足正弦定理。在图2.8-1中,测角网中加测了边长Dcd。则其正弦条件为:
其线性形式为:
(2.8-4)
式中:
很显然,边角网中正弦条件同三角网中基线条件式是相似的,所不同的是在基线条件式的基础上,增加了边长改正数这一项,因此边角网中正弦条件式是三角网中基线条件式的扩展。在图2.8-1中,如果边长ab也是观测边,那么在(2.8-4)式中还要加一项VDab,其条件方式程形式为:
图2.8-1 边角条件基本图形
(2.8-5)
作为特例,当在一个边角网三角形中(见图2.8-1),显然有两个正弦条件式,其形式为:
(2.8-6)
式中:
式(2.8-6)亦可写成下列形式:
(2.8-7)
式中:
W1=D1sinβ2-D2sinβ1
W2=D2sinβ3-D3sinβ2
在特殊情况下,如果在测三条边及两个角的三角形中,此时显然有两个正弦条件,其中一个与式(2.8-6)或(2.8-7)式中第一式相同,而第二个条件式则不同,设β3=180°-β1-β2,其条件方程式形式为:
(2.8-8)
式中:
或表达为:
(2.8-9)
式中:W=D2sin(β1+β2)-D3sinβ2。
余弦条件方程式的组成
余弦条件是指由三条边的平差值求出的角度应与该角度平差后的角值相等。设三角形观测了三条边D1、D2、D3和一个角度β1,则其余弦条件方程式形式为:
(2.8-10)
式中:hβ1由为β1角角顶向对边引出的高;
以上给出了由边角改正数共同组成的边角条件式。在具体计算时,Vβ以秒为单位,D及h以公里为单位,若VD以厘米为单位则ρ=2.06,若VD以毫米为单位则p=0.206。VD以厘米为单位还是以毫米为单位取决于定权时所用测距中误差mD的单位。VD、mD的单位应一致,常数项W的单位应与VD或Vβ的单位相同。
(2) 边角网中条件数目的确定
对于独立边角网,按再度平差时,独立条件总数为:
r=N-2n+3 (2.8-11)
式中:N——网中观测值总个数;
n——总点数。
当按方向平差时,独立条件总数为:
r=F+M-3n+3 (2.8-12)
式中:F——网中观测方向总数;
M——测边总数;
n——网中总点数。
对于非独立边角网,独立条件总数为:
r=N-2k (2.8-13)
式中:k——待定点个数。
在边角网条件平差时,为了选择和组成足够简单的条件式,往往都是先按角度列出三角网中的有关条件,再按边角列出正弦条件及坐标条件,然后才选用边角余弦条件,而只有在特殊情况下,才用边组成有关条件式。在这些条件式中,有的也可以互相替代,但也是同类条件内部间的替代,而不同类条件之间是不能替代的。
当边角网中的角度观测值按方向平差时,只需将上面用角度改正数组成的各个条件式,将角度改正数Vij换成构成这个角度的二个方向改正数的Vi及Vj之差,然后再经整理,即得方向平差时的边角网条件式。
(3) 权函数式的组成
边角网按条件平差时,平差值函数的权函数式比较简单,因为可以同时出现角度改正数和边长改正数。如图2.8-2中,cd边的坐标方位角权函数式为:
δαcd=-Vβ2+Vβ3-Vβ7 (2.8-14)
图2.8-2 边角网示意图
而C点的纵坐标的权函数式可表达为:
(2.8-15)
图2.8-3 中点六边形边角网
r=D+s-3n+3
=24+6-3×7+3=12
在这12个条件式中,有6个图形条件和6个正弦条件,方向观测不产生圆周角条件。
条件方程式的组成
6个图形条件方程式为:
-V1+V2-V5+V6-V19+V20+W1=0
-V4+V5-V8+V9-V20+V21+W2=0
-V7+V8-V11+V12-V21+V22+W3=0
-V10+V11-V14+V15-V22+V23+W4=0
-V13+V14
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