等差数列的和及应用.docVIP

教学内容 【知识结构】 1．等差数列的前项和公式1： 证明： ① ② ①+②： ∵ ∴ 由此得： 从而我们可以验证高斯十岁时计算上述问题的正确性 2. 等差数列的前项和公式2： 用上述公式要求必须具备三个条件： 但 代入公式1即得： 此公式要求必须已知三个条件： （有时比较有用） 总之：两个公式都表明要求必须已知中三个 公式二又可化成式子： ，当d≠0，是一个常数项为零的二次式 3.对等差数列前项和的最值问题有两种方法: 利用: 当0，d0，前n项和有最大值可由≥0，且≤0，求得n的值 当0，d0，前n项和有最小值可由≤0，且≥0，求得n的值 利用：由二次函数配方法求得最值时n的值 等差数列{an}的任意连续m项的和构成的数列Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4m - S3m、……仍为等差数列 例1 一个堆放铅笔的V型的最下面一层放一支铅笔，往上每一层都比它下面一层多放一支，最上面一层放120支，这个V形架上共放着多少支铅笔？ 解：由题意可知，这个V形架上共放着120层铅笔，且自下而上各层的铅笔成等差数列，记为，其中，根据等差数列前n项和的公式，得 答：V形架上共放着7260支铅笔 例2 等差数列-10，-6，-2，2，…前多少项的和是54？ 解：设题中的等差数列为，前n项为 则 由公式可得 解之得：（舍去） ∴等差数列-10，-6，-2，2…前9项的和是54 例3 .已知等差数列{}中=13且=,那么n取何值时,取最大值. 解法1：设公差为d，由=得： 3×13+3×2d/2=11×13+11×10d/2 d= -2, =13-2(n-1), =15-2n, 由即得：6.5≤n≤7.5,所以n=7时,取最大值. 解法2:由解1得d= -2,又a1=13所以 = - n+14 n = -（n-7）+49 ∴当n=7，取最大值 例.求集合M={m|m=2n－1,n∈N*,且m＜60}的元素个数及这些元素的和. 解：由2n－1＜60,得n＜,又∵n∈N* ∴满足不等式n＜的正整数一共有30个. 即 集合M中一共有30个元素，可列为：1，3，5，7，9，…，59，组成一个以=1, =59,n=30的等差数列. ∵=,∴==900. 答案：集合M中一共有30个元素，其和为900. 例.在小于100的正整数中共有多少个数能被3除余2，并求这些数的和 分析：满足条件的数属于集合，M={m|m=3n+2,m＜100,m∈N*} 解：分析题意可得满足条件的数属于集合，M={m|m=3n+2,m＜100,n∈N*} 由3n+2＜100,得n＜32,且m∈N*, ∴n可取0，1，2，3，…，32. 即 在小于100的正整数中共有33个数能被3除余2. 把这些数从小到大排列出来就是：2，5，8，…，98. 它们可组成一个以=2,d=3, =98,n=33的等差数列. 由=,得==1650. 答：在小于100的正整数中共有33个数能被3除余2，这些数的和是1650. 例已知数列是等差数列，是其前n项和， 求证：⑴，-，-成等差数列； ⑵ （）成等差数列 证明：设首项是，公差为d 则 ∵ ∵∴ 是以36d为公差的等差数列 同理可得是以d为公差的等差数列. 例如果一个等差数列的前12项和为354，前12项中偶数项的和与奇数项的和之比为32:27，求公差； 分析：等差数列的奇数项成等差数列，偶数项也成等差数列，等差数列中通项公式和前n项和公式中五个量，只要知道其中三个，就可以求其它两个，而是基本量解：设等差数列首项为，公差为d，则 例 设等差数列{an}的前n项和为Sn已知a3=12, S12＞0,S13＜0(Ⅰ)求公差d的取值范围；(Ⅱ)指出S1,S2,…,S12,中哪一个值最大,并说明理由解： (Ⅰ)依题意,有 ，即由a3=12,得 a1=12－2d (3)将(3)式分别代入(1),(2)式,得 ，∴(Ⅱ)由d＜0可知 a1＞a2＞a3＞…＞a12＞a13因此,若在1≤n≤12中存在自然数n,使得an＞0,an+1＜0,则Sn就是S1,S2,…,S12中的最大值由于 S12=6(a6+a7)＞0, S13=13a7＜0，即 a6+a7＞0, a7＜0由此得 a6＞－a7＞0因为a6＞0, a7＜0,故在S1,S2,…,S12中S6的值最大 例等差数列｛an｝的前n项和Sn且S5=-5,S10=15,求数列｛｝的前n项和Tn　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 解：设数列｛an｝的公差为d，首项为a1， 由已知得 5a1 + 10d = -5, 10a1 + 45d =