运筹学第八章(三).pptVIP

* §4 整数规划的分枝定界法 分枝定界法 性质2：当整数规划的最优目标函数值 的上界 等于其 下界 时，整数规划的最优解已被求出，且 分枝定界法的步骤: 1.先不考虑整数约束, 解(IP)问题对应的(LP)问题,设为(LP1): ①若(LP1)问题没有可行解, 则(IP)问题也没有可行解. 结束. ②若(LP1)问题有最优解,并符合(IP)问题的整数条件, 则(LP1) 问题的最优解, 就是(IP)问题的最优解. 结束. 若最 优解不符合整数条件，则求出整数规划的上下界，用增加约束 条件的方法，把相应的线性规划的可行域分成子区域（称为分 枝），再求解这些子区域的线性规划问题，不断缩小整数规划 的上下界的距离，最后取得整数规划得最优解。 是先求整数规划相应的线性规划问题。 ③若(LP1)问题有最优解, 但不符合(IP)问题的整数条件,为讨 论方便, 不妨设(LP1)问题的最优解为 目标函数最优值为 其中 不全为整数. 2.定界: 3.分枝: 再用观察 法找到(LP)问题一个整数可行解, 其目标函数值 作为下界, 记为 . 一般情况下: 以 作为目标函数最优值的上界, 记为 假如 不为整数, 表示不超过 的最大整数,构造两个 约束条件: 将这两个约束分别加入(IP1)问题, 形成两个子问题(IP2)和(IP3), 再解这两个问题对应的(LP)问题(LP2)及(LP3). 在(LP1)的最优解中,任选一个不符合整数条件的变量, 4.修改上、下界： 规定： ①在各分支问题中，找出目标函数值最大者为新的上界； ②在有整数最优解的分枝中，选其目标函数值的最大者作为 新的下界。 5.比较与剪枝: 各分枝的目标函数值中,若有小于 者,则剪掉 此枝; 否则要继续分枝. 如此反复进行,直到 为止. 此时求出目标函数的最优解 例9 用分支定界法求解整数规划： 解： 一）先求出其相应的线性规划的解，即求解LP1： 求得其最优目标函数值： 最优解为： LP1 二）确定整数规划的最优目标函数值 初始上界 和下界 。 一定是整数规划的最优目标函数值 初始上界 ， 即 。 其目标函数值： 2×2+3×3=13 为整数规划问题的最优目标 函数值的下界，即 。 是该整数规划的可行解， 经观察： 三）将一个线性规划问题分为两枝，并求解。 选远离整数的那个变量: 令 在(LP1)问题中增加两个约束，将(LP1)问 题分解为两枝：LP2和LP3。 LP2： LP3： 其最优目标函数值为 其最优解为： 其最优目标函数值为 其最优解为： 四）修改整数规划的最优目标函数的上、下界。 目标函数上界： 在LP2,LP3中, 没有整数最优解. 则 目标函数下界： 将LP3分解成LP4和LP5 ： 五）继续分枝 继续分枝。 目的：使上界越来越小，下界越来越大。 由于 先对LP3分枝. 如果LP3的分枝中, 有整数最优解, 而且其最优目标函数 值大于LP2的目标函数最优值, 就可以剪掉LP2这一枝. * * *