习题5和习题6.docVIP

习题五 1. 求下列矩阵的特征值和特征向量： 1）；2）；3）；4）。 并说明哪些矩阵可以相似于对角形矩阵。 解：1），特征值 。 当时， ，故属于的特征向量为 （）。 当时 ， ，故属于的特征向量为 （）。 由于线性无关的特征向量个数为2，故可以对角化。 2），特征值 。 当时， ，故属于的特征向量为 （）。 当时， ，故属于的特征向量为 （）。 当时， ，故属于的特征向量为 （）。 由于线性无关的特征向量个数为3，故可以对角化。 3），特征值 。 当时， ，。故属于的特征向量为 （不全为零）。 当时， ，故属于的特征向量为 （）。 由于线性无关的特征向量个数为3，故可以对角化。 4） ，特征值 。 当时， ，故属于的特征向量为 （）。 当时， ，故属于的特征向量为 （）。 由于线性无关的特征向量个数为2，故不可以对角化。 2. 已知方阵满足，求的所有可能的特征值。 解：设是的特征值，则有非零向量满足。于是，。因为非零，所以。即的特征值只能为或 。 3. 设是的特征值，证明： 1）是的特征值，（为正整数）是的特征值； 2）设是多项式，则是的特征值； 3）如果可逆，则是的特征值。 证明：1）因为，则。，依此类推，，即是的特征值。 2）由1）（为正整数），记，则，即是的特征值。 3）如果可逆，对两边左乘有：。又可逆矩阵的特征值不为零（否则，与可逆矛盾）。故 。 4. 设和是的属于两个不同特征值的特征向量，证明不是的特征向量。 证明：由题意，设 ， ，，则 线性无关。（反证）若是的特征向量，则有： 。从而。因为，所以不全为零，于是线性相关，矛盾。故不是的特征向量。 5. 如果方阵可逆，证明矩阵和相似。 证明：因为，所以矩阵和相似。 6. 设与相似，与相似。证明与相似。 证明：因为与相似，与相似，故有可逆矩阵与， 使得：，。于是，即与相似。 7. 计算，其中。 解： ，特征值 。 当时，对应的特征向量为 dfdfdf错；当时，对应的特征向量为 ；当时，对应的特征向量为。故可取，有，使得： 。从而 。 8. 求，的值，使得矩阵与相似，其中，。 解：因为的特征值为，由与相似，可得，， 。即，从而 。 9. 证明： 1）实反对称矩阵的特征值为0或纯虚数； 2）正交矩阵的特征值的模等于1。 证明：1）设是实反对称矩阵， 是的特征值，则有，。取共轭有。考虑 ，一方面；另一方面，；于是。又因为，所以。故，即为0或纯虚数。 2）设是正交称矩阵， 是的特征值，则有，。取共轭有，再转置。所以。因为，所以。故，即的模为1 。 10. 判断下列矩阵是否为正交矩阵： 1） ，2） 。 解：1）因为，故为正交矩阵；2）不是正交矩阵。 11. 设为正交矩阵，证明： 1）与为正交矩阵； 2）为正交矩阵。 证明：1）因为为正交矩阵，所以，即。又，故与为正交矩阵。 2）因为为正交矩阵，所以，。从而，即为正交矩阵。 12. 在中，求一单位向量与向量正交。 解：设所求向量为，则有。求得基础解系为 ，-3。故（为任意数）。 13. 求正交矩