线性代数第6章习题答案 38p .ppt

第六章二次型习题答案 §6.1 二次型及其矩阵表达式 §6.2 化二次型为标准形 一、填空题 1.二次型 的矩阵是______________. 2.二次型 的矩阵是______________. 该二次型的秩是____. 解: 由于 A满秩,所以该二次型的秩是3. 3 3.二次型 的秩是____. 解: 所以该二次型的秩是2. 2 4.矩阵 的二次型是____________________. 若该二次型的秩是2, 则 t =___. 解: 当t =1时,R(A) = 2. 二、选择题 （1）.二次型 的矩阵是( ). 解: 应选(D). D 三、设二次型 1.写出其矩阵表达式; 2.用正交变换将其化为标准形,并写出所用的正交变换. 解: 特征值为 对应于特征值 对应于特征值 对应于特征值 单位化: 四. 用配方法将下列二次型化为标准形, 并写出所作 的实可逆线性变换并指出原二次型的秩. 解: 令 则二次型化为标准形: 所作的实可逆线性变换为: 即为: 解: 该二次型是一个秩为3的二次型。 所作的实可逆线性变换为: 令 则二次型化为标准形: 即为: 该二次型是一个秩为3的二次型。 解: 所作的实可逆线性变换为: 即为: 该二次型是一个秩为3的二次型。 解: 所作的实可逆线性变换为: 解: 即为: 令: 原式变为: 即为: 该二次型是一个秩为3的二次型。 由于 再令: 可得二次型的标准型: 即有 又由于 所以有: 即所用可逆线性变换为: 该二次型是一个秩为3的二次型。 解: （6）用配方法化二次型 为标准型，并写出所用的可逆的线性变换。 该二次型是一个秩为2的二次型。 解: 五、设二次型 经过正交变换X=QY化为标准形 ，求a , b。 它经过正交变换X=QY化为标准形 故0，1，2是矩阵A的三个特征值，从而有： 解: 六、已知 是二次型 的矩阵A的特征向量，求这个二次型的标准形。 由题设 是矩阵A的特征向量，则有 解: 六、已知 是二次型 的矩阵A的特征向量，求这个二次型的标准形。 §6.3 二次型的规范形、惯性定律 §6.4 正定二次型 一、填空题 (1).设 则A______正定矩阵. 解: 由于2阶主子行列式 所以A不是 不是 正定矩阵. 式子 ______二次型. 解: 由于式子中有常数项, 所以不是二次型. 不是 式子 ______二次型. 解: 由于上式是一个3元方程, 所以也不是二次型. 不是 (2).设 是正定的, 由于A为对称矩阵, 则a =_____. 解: 一阶主子式 二阶主子式 所以a =2. 2 3.若二次型 是正定的, 则t的取值范围是____________. 解: 所给二次型的矩阵是 即有 二、选择题 的正惯性指数、负惯性指数、符号差分别为( ). (A) 2,0,2 ; (B) 2,0,0 ; (C) 2,1,1 ; (D) 1,1,0 . 解: 1.二次型 所给二次型的矩阵为 A 特征值为 所以二次型f 的正惯性指数为2,负惯性指数为0, 符号差为2. 选项(A)正确. 2.二次型 是( ). (A) 既不正定也不负定; (B) 负定; (C) 正定; (D) 无法确定. 解: 所给二次型的矩阵为 一阶主子式: 二阶主子式: 该二次型既不正定也不负定. 故选项(A)正确.