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用三种方式表示二次函数 【教学目标】 理解三种表达式的适用范围，熟练掌握三种方式求二次函数表达式 【重点、难点】 掌握顶点式和两根式的用法 【知识要点】 1．二次函数列表表示法 二次函数列表法对于表中已有的自变量的每一个值，可以直接找到对应的函数值，使用起来很方便，不足之处在于很难把自变量与函数的全部对应值都列出来，且从表中也不容易发现自变量与函数值之间的对应规律． 2．二次函数图象表示法 图象法非常直观，函数的变化情况和某些性质在图象上很直观地显示出来了，它的不足之处在于从图象上找出自变量与函数的对应值时，不很准确． 3．二次函数解析式表示法 解析法简单明了，通常能从解析表达式了解到整个变化过程中自变量与函数间的全部相依关系，适合于作理论分析和推导计算，不足之处在于求对应值要逐个计算，有时很麻烦，而且，并不是所有的函数关系都能用解析式表示．如气象站记录的一天的气温与时间之间的函数关系等； 二次函数解析式有三种形式： （1）一般式：； （2）顶点式：； （3）两根式：． 说明：（1）任何一个二次函数通过配方都可以化为顶点式，抛物线的顶点坐标是，当时，抛物线的顶点在轴上；当时，抛物线的顶点在轴上；当且时，抛物线的顶点在原点上． （2）当抛物线与轴有交点时，即对应二次方程有实数根存在时，根据二次三项式的分解公式，二次函数可转化为两根式． 要确定二次函数解析式，就是要确定解析式中的待定系数（常数），由于每一种形式中都含有三个待定系数，所以用待定系数法求二次函数的解析式，需要已知三个独立条件． 当已知抛物线上任意三点时，通常设函数解析式为一般式，然后列出三元一次方程组求解． 当已知抛物线的顶点坐标和抛物线上另一点时，通常设函数解析式为顶点式，求解； 当已知抛物线与轴交点或交点的横坐标时，通常设函数解析式为两根式，求解． 【经典例题】 例1．根据下列条件，求抛物线的解析式． （1）经过点（0，-1），（1，），（-2，-5）； （2）经过点（-3，2），顶点是（-2，3）； （3）与轴两交点坐标分别为、，并且与轴交于点（0，-2）． 例2．已知抛物线与轴只有一个公共点，坐标为，求此抛物线的解析式． 例3．已知二次函数的最大值是2，图像顶点在直线上，并且图像经过点（3,-6），求的值． 例4．抛物线与轴交于，对称轴是直线，顶点到轴的距离是12，求此抛物线的解析式． 例5．设二次函数，当x=4时取得最大值16，且它的图象在x轴上截得的线段长4，求其解析式。 例6．如果抛物线与x轴交于A、B两点，且A点在x轴的正半轴，B点在x轴的负半轴，OA的长是a，OB的长是b。 （1）求m的取值范围。 （2）若a：b=3：1，求m的值，并写出抛物线的解析式。 例7．已知抛物线与直线相交于点A（1，）、B（4，8），与轴交于坐标原点O和点C． （1）求直线和抛物线解析式． （2）在轴上方的抛物线是否存在D点，使得．如果存在，求出所有符合条件的点；如果不存在，说明理由． 【课堂练习】 一、选择题： 1．二次函数的图象经过两点，则的值为（ ）. A、 B、 C、 D、 2．二次函数的图象经过原点，则的值为（ ）. A、2 B、1 C、0 D、0或2 3．若二次函数的最小值是2，则的值是（ ）． A、4 B、3 C、-1 D、4或-1 4．二次函数的图象的顶点坐标为，与轴交于点，则此二次函数的解析式为（ ） A、 B、 C、 D、 5．抛物线不经过（ ） A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限 6．抛物线的图象与轴的交点坐标是（ ）． A、 B、 C D． 7．已知二次函数的图象如图所示，下列结论：①② ③④，其中正确结论的个数是（ ）． A、1 B、2 C、3 D、4 8．如果以轴为对称的抛物线的图象如图所示，那么下列代数式正确的是（ ）． A、 B、 C、 D、不能确定 9．满足下列关系的二次函数是（ ）． … -5 -4 -3 -1 0 … … 14 2 -2 14 34 … A、 B、 C、 D、 10．二次函数的图象如图所示，下列结论：①② ③④，其中正确结论的个数是（ ）． A、1 B、2 C、3