易拉罐形状和尺寸的最优设计概要.ppt

易拉罐形状和尺寸的最优设计 报告人：刘璐 201231208 摘要 用微积分方法得最优解：易拉罐盖子厚度与其他部分厚度为3：1。 对问题三，在易拉罐基本尺寸，高与直径之比2：1的条件下，将上面为正圆台的易拉罐用料优化设计，转化为正圆柱部分一定而研究此正圆台的用料优化设计。 圆台面积 　　　用数学软件求得最优解r=1.467, h=1.93时，s=４5.07最小。 　　　结论：易拉罐总高：底直径=2：1，上下底之比=1：2，与实际比较分析了各种原因。 关键词：易拉罐 最优设计 一、问题的提出 每年我国易拉罐的使用量是很大的，（近年我国每年用易拉罐亿只），如果每个易拉罐在形状和尺寸作优化设计，节约一点用料，则总的节约就很大了。为此提出下述问题： 1：取一个饮料量为355毫升的易拉罐，例如355毫升的可口可乐饮料罐，测量验证模型所需要的数据，例如易拉罐各部分的直径、高度、厚度等，并把数据列表加以说明。 2：设易拉罐是一个正圆柱体。什么是它的最优设计？其结果是否可以合理地说明所测量的易拉罐的形状和尺寸，例如说，半径和高之比，等等。 3．设易拉罐的上面部分是一个正圆台，下面部分是一个正圆柱体。什么是它的最优设计？其结果是否可以合理地说明所测量的易拉罐的形状和尺寸。 二、基本假设 1．本文研究易拉罐形状和尺寸的最优设计，不考虑具体的用料（假设为铝材），也不考虑易拉罐的工艺过程。 2．易拉罐的形状和尺寸假设为“正圆柱体”或“正圆台与正圆柱体的结合”等等。 3．易拉罐的基本构造为“两片罐”。 4．实际测量允许有一定的误差。 　 (对不同问题的研究再作补充假设)。 5. 不考虑压强 三．模型的假设与求解 问题一 ： 我们实际测量355ml易拉罐的各种数据如下表： 常见易拉罐尺寸（mm） 问题二 1.补充假设，在基本假设的基础上我们补充下述假设： ?在本问题的研究中，假设易垃罐是一个正圆柱体； ?假设易拉罐侧面和底面的厚度相同，顶部的厚度是侧面厚度的3倍； ?体积一定的柱体中，正圆柱体的表面积最小。 2. 符号说明： h：易拉罐的高； 　　r：易拉罐的上下底半径； 　　d：易拉罐金属板的厚度； 　　V：易拉罐的体积； 　　D：易拉罐上下底直径。 　　3．问题分析与模型 　　　在本问题中，易拉罐的最优设计着眼于每个易拉罐用料最少。因此需要考虑易拉罐的形状、尺寸和厚度，已假设易拉罐顶部厚度是侧面厚度的3倍。 因此一个易拉罐所需材料为： 　　　侧面的材料+底面的材料+顶部的材料 即 假设易拉罐的体积V一定 则所需材料为 模型求解，用微积分方法 令 ，解得 。 讨论当 时， ； 当 时， ； 因此 是 的极小值，而 没有其它极值点， 故 是 的最小值点。 此时，易拉罐的直径 易拉罐的高 4.结果分析 　　 上述模型及其求解得到的结论是：在正圆柱体易拉罐体积一定时，当高与直径之比为2：1时，易拉罐的用料最省。 即为考虑用料最少，正圆柱体易拉罐的的高与直径之比为2：1是最优设计。 此结果正好符合实际大多数易拉罐的形状和尺寸。如我们所测的355毫升的可口可乐易拉罐高104，直径65，