D10-4重积分应用 new .pptVIP

第九章 第四节 重积分应用 一、立体体积 二、曲面的面积 三、物体的质心 四、物体的转动惯量 五、物体的引力 一、利用直角坐标计算二重积分 1. 能用重积分解决的实际问题的特点: 所求量是 对区域具有可加性 —— 用微元分析法 (元素法)建立积分式 分布在有界闭域上的整体量 3. 解题要点: 画出积分域、选择坐标系、确定积分序、 定出积分限、计算要简便 2. 用重积分解决问题的方法: 一、立体体积 曲顶柱体的顶为连续曲面 则其体积为 占有空间有界域 ? 的立体的体积为 a a x z y 0 例1. D y = 0 x = 0 a a a a x o y D . . . . x z y 0 . . . 例1. a 由对称性，考虑上半部分 . x y o z 例2 z = 0 a x y z o 。 。 。 。 。 。 由对称性，考虑上半部分 D ?1 . 例2 V 。 . 二、曲面的面积 引理 ? A ? . l . ? 注：这里 ? 即 两平面 法矢量的夹角 二、曲面的面积 设光滑曲面 则面积 A 可看成曲面上各点 处小切平面的面积 d A 无限积累而成. 设它在 D 上的投影为 d? , 则 (称为面积元素) dA 二、曲面的面积 故有曲面面积公式 若光滑曲面方程为 则有 即 二、曲面的面积 若光滑曲面方程为 则有 二、曲面的面积 例3. 计算双曲抛物面 被柱面 所截 解: 曲面在 xOy 面上投影为 则 出的面积 A . a a x z y 0 设圆柱面为 例4. 考虑第一卦限 D a a . . x z y 0 a a x o y D . . . . . . 三、物体的质心 质心——物体（或物体系）的质量中心，是 研究物体（或物体系）机械运动的一个重要 参考点。当作用力（或合力）通过该点时， 物体只作平动而不发生转动；否则在发生移 动的同时物体将绕该点转动。 三、物体的质心 设空间有n个质点, 其质量分别 由力学知, 该质点系的质心坐标 设物体占有空间域 ? , 有连续密度函数 则 公式 , 分别位于 为 为 即: 采用 “大化小, 常代变, 近似和, 取极限” 可导出其质心 三、物体的质心 将 ? 分成 n 小块, 将第 k 块看作质量集中于点 例如, 系的质心坐标就近似该物体的质心坐标. 的质点, 此质点 在第 k 块上任取一点 三、物体的质心 令各小区域的最大直径 即得 同理可得 三、物体的质心 则得形心坐标： 三、物体的质心 若物体为占有xOy 面上区域 D 的平面薄片, 则它的质心坐标为 其面密度 — 对 x 轴的 静矩 — 对 y 轴的 静矩 三、物体的质心 ( A 为D 的面积) 得D 的形心坐标: 三、物体的质心 例5. 求位于两圆 和 的质心. 解: 利用对称性可知 而 三、物体的质心 例5. 求位于两圆 和 的质心. 三、物体的质心 例6. 一个炼钢炉为旋转体形, 剖面壁线 的方程为 内储有高为 h 的均质钢液, 解: 利用对称性可知质心在 z 轴上， 故 自重, 求它的质心. 若炉 不计炉体的 其坐标为 三、物体的质心 采用柱坐标, 则炉壁方程为 因此 三、物体的质心 四、物体的转动惯量 设物体占有空间区域 ? , 有连续分布的密度函数 该物体位于(x , y , z) 处的微元 因此物体 对 z 轴 的转动惯量: 对 z 轴的转动惯量为 因质点系的转动惯量等于各质点的转动惯量之和, 故 连续体的转动惯量可用积分计算. 四、物体的转动惯量 类似可得: 对 x 轴的转动惯量 对 y 轴的转动惯量 对原点的转动惯量 四、物体的转动惯量 如果物体是平面薄片, 面密度为 则转动惯量的表达式是二重积分. 四、物体的转动惯量 例7.求半径为 a 的均匀半圆薄片对其直径 解: 建立坐标系如图, 的转动惯量.