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第 11 章 模糊数学方法 §11.1 模糊理论的数学基础 经典集合 经典集合具有两条基本属性：元素彼此相异，即无重复性；范围边界分明,即一个元素x要么属于集合A(记作x?A),要么不属于集合(记作x?A)，二者必居其一. 集合A的所有子集所组成的集合称为A的幂集，记为Ψ(A). 映射与扩张 二元关系 关系的三大特性： 关系的矩阵表示法 关系合成的矩阵表示法 合成(° )运算的性质： §11.2 模糊子集及其运算 模糊子集与隶属函数 模糊集的运算 模糊集的并、交、余运算性质 对偶律：(A∪B)c = Ac∩Bc， (A∩B)c = Ac∪Bc； §11.3 模糊集的基本定理 定理1 设A, B??(U ) (A, B是论域U 的两个模糊子集)，?,??[0,1]，于是有?-截集的性质： §11.4 隶属函数的确定 1. 模糊统计方法 §11.5 模糊数学方法 模糊子集与隶属函数 模糊线性规划 多目标线性规划 由Gi (x)定义可知，??∈[0, 1], Gi (x)≥? ? t0 (x) + d0?≤ f0, 要求模糊线性规划(2)的模糊最优解x*，则要求使所有约束条件及目标函数的隶属函数尽可能达到最大，即求x* 满足 Ai (x)≥?及G(x)≥?， 且使?达到最大值,相当于求解普通线性规划问题 i = 1, 2, …, m. 设普通线性规划(4)的最优解为x*, ? , 则模糊线性规划(2)的模糊最优解为x*, 最优值为t0 (x*). 所以，求解模糊线性规划(2)相当于求解普通线性规划(1), (3), (4). 此外，再补充两点说明： ① 若要使某个模糊约束条件尽可能满足，只需将其伸缩指标降低直至为0； ② 若模糊线性规划(2)中的目标函数为求最大值，或模糊约束条件为近似大(小)于等于，其相应的隶属函数可类似地写出. 例1 解模糊线性规划问题(P129)： 在相同的条件下,要求多个目标函数都得到最好的满足,这便是多目标规划. 若目标函数和约束条件都是线性的,则为多目标线性规划. 一般来说,多个目标函数不可能同时达到其最优值,因此只能求使各个目标都比较“满意”的模糊最优解. 例2 解多目标线性规划问题(P131)： ⑴解普通线性规划问题： 得最优解为x1 = 0, x2 = 2, x3 = 2, 最优值为2，此时 f 2 = 8. ⑵解普通线性规划问题： 得最优解为x1 = 10, x2 = 0, x3 = 0, 最优值为20，此时f 1 = 10. 线性规划问题⑴的最优解为 x1 = 0, x2 = 2, x3 = 2, 最优值为2,此时 f 2 = 8. 线性规划问题⑵的最优解为 x1 = 10, x2 = 0, x3 = 0, 最优值为20，此时f 1 = 10. 同时考虑两个目标，合理的方案是使 f 1∈[ 2, 10 ], f 2∈[ 8, 20 ], 可取伸缩指标分别为 d1 = 10 - 2 = 8, d2 = 20 - 8 = 12. 如果认为目标 f 1更重要,可单独缩小d1; 如果认为目标 f 2更重要，可单独缩小d2. * * 模糊数学是研究什么的？ 模糊现象：“亦此亦彼”的不分明现象 模糊数学——研究和揭示模糊现象的定量处理方法。 模糊数学是研究和处理模糊性现象的数学方法. 众所周知，经典数学是以精确性为特征的. 然而，与精确形相悖的模糊性并不完全是消极的、没有价值的. 甚至可以这样说，有时模糊性比精确性还要好. 例如,要你某时到某地去迎接一个“大胡子高个子长头发戴宽边黑色眼镜的中年男人”. 尽管这里只提供了一个精确信息――男人，而其他信息――大胡子、高个子、长头发、宽边黑色眼镜、中年等都是模糊概念，但是你只要将这些模糊概念经过头脑的综合分析判断，就可以接到这个人. 模糊数学在实际中的应用几乎涉及到国民经济的各个领域及部门，农业、林业、气象、环境、地质勘探、医学、经济管理等方面都有模糊数学的广泛而又成功的应用. 集合的表示法： (1)枚举法，A={x1 , x2 ,…, xn}； (2)描述法，A={x | P(x)}. A?B ? 若x?A，则x?B； A?B ? 若x?B，则x?A； A=B ? A?B且 A?B. 并集A∪B = { x | x?A或x?B }； 交集A∩B = { x | x?A且x?B }； 余集