离散数学课件1 1.ppt

* 4. 条件联结词(蕴涵联结词Conditional)→ 定义1.2.4 设P,Q为二命题，复合命题“如果P则Q(若P则Q)” 称为P与Q的条件命题,记作P ? Q. P ? Q为假当且仅当P为真且Q为假.称符号“?”为条件联结词。并称P为前提、假设或前件，Q为结论或后件. 联结词“?”的定义真值表 P Q P → Q 0 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1 * 注： （1）P ? Q表示的基本逻辑关系是,Q是P的必要条件或P是Q的充分条件. 因此复合命题“只要P就Q”、“因为P，所以Q”、“P仅当Q”、“只有Q才P”等都可以符号化为P ? Q 的形式。 （2）P为假时，无论Q为真还是假，P ? Q都为真。 （3） “?” 属于二元(binary)运算符。 （4）给定命题P→Q，我们把Q→P， ?P→?Q，　 ?Q→?P分别叫做命题P→Q的逆命题、反（否）命题和逆反（否）命题。 * 例5. 将下列命题符号化。 （1）天不下雨，则草木枯黄。 P：天下雨。 Q：草木枯黄。 则原命题可表示为： ┐P→Q。 （2）如果小明学日语，小华学英语，则小芳学德语。 P：小明学日语 Q：小华学英语 R：小芳学德语. 则原命题可表示为：(P∧Q)→R （3）只要不下雨，我就骑自行车上班。 P：天下雨。Q：我骑自行车上班。 则原命题可表示为： ┐P→Q。 （4）只有不下雨，我才骑自行车上班。 P：天下雨。Q：我骑自行车上班。 则原命题可表示为： Q →┐P 。 （5）如果 2+2=4, 则太阳从东方升起。 (P →Q, 1) P Q ?? ?如果 2+2=4, 则太阳从西方升起。 (P →R, 0) R ???? 如果 2+2 ≠ 4, 则太阳从东方升起。 (┐P →Q , 1) ????? 如果 2+2 ≠ 4, 则太阳从西方升起。 (┐P →R, 1) 注意: (1)与自然语言的不同：前件与后件可以没有任何内在联系！ (2) 在数学中，“若P则Q”往往表示前件P为真，则后件Q为真的推理关系. 但数理逻辑中，不关心二者内在联系，只与二者真值有关。 （3）数理逻辑的任务不在于研究某个具体命题的真假问题，而在于它可以赋予真或假的可能性，特别是研究各命题规定其真值后它们之间的联系。 * 5 双条件联结(等值联结词Biconditional) ? 定义1.2.5 设P,Q为二命题，复合命题“P当且仅当Q” 称为P与Q的双条件命题，记作 P?Q，符号?称为双条件（等值）联结词。 P?Q为真当且仅当P，Q真值相同。 联结词“?”的定义真值表 P Q P ? Q 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1 * 注：（1）P仅当Q 可译为P→Q P当Q 可译为Q→P P当且仅当Q 译为P?Q （2）“?”属于二元(binary)运算符。 (3) 双条件命题P?Q所表达的逻辑关系是, P与Q互为充分必要条件,相当于(P ? Q) ∧(Q ? P). 只要P与Q的真值同为1或同为0, P?Q的真值就为1, 否则P?Q的真值为0. 双条件联结词连接的两个命题之间可以没有因果关系。 * 例6.分析下列命题的真值. P： 2+2=4. Q：3是奇数 . (1) 2+2=4 当且仅当3是奇数 . (P?Q) (2) 2+2=4 当且仅当3不是奇数 . (P?┐Q) (3) 2+2≠4 当且仅当3是奇数 . (┐P?Q) (4) 2+2≠4 当且仅当3不是奇数 . (┐P?┐Q) 由上面5个联结词，我们可以将一些语句翻译成逻辑式。 约 定:1. 运算次序优先级：括号，┐，?，?，→，?. 2. 相同的运算符按从左至右次序计算，否则要加上括号。 3.最外层圆括号可省去。为了醒目，有时保留一些可省略的括号，如 P?Q?R 写成 P?（Q?R). 1.1.3 命题变元和命题公式 命题常元：如果P代表一个确定的命题，称P为一 个命