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信号与系统 Signals and Systems 离散时间信号与系统的复频域分析 离散时间信号的复频域分析 离散时间LTI系统的复频域分析 离散时间系统函数与系统特性 离散时间系统的模拟 离散时间信号的复频域分析 六、单边z反变换 六、单边z反变换 六、单边z反变换 六、单边z反变换 六、单边z反变换 离散时间系统响应的z域分析 二阶系统响应的z域求解 二阶系统响应的z域求解 * * * * * * * 理想取样信号的拉普拉斯变换 z变换定义 单边z变换及其收敛域 常用单边序列的z变换 单边z变换的性质 单边z反变换 C为X(z) 的ROC中的一闭合曲线。 计算方法： 幂级数展开和长除法 部分分式展开 留数计算法 部分分式法 1. mn，分母多项式无重根 各部分分式的系数为 部分分式法 2. mn，分母多项式在z=u处有l阶重极点 部分分式法 3. m?n 按(1)(2) 情况展开 多项式 解： 将X(z)化为z的负幂，可得 将X(z)进行z反变换，可得 解： m=n，由多项式除法可得 G(z) 解： 所以 进行z反变换，得 解： X(z)有一对共轭复根，复根时部分分式展开, 可以直接利用 解： 由指数加权性质 解： A=4/3, B=-2/3, C= -1/3; 例： 求x[k]。 B, C用待定系数法求 留数法 若X(z)z k-1在z = pi处有一阶极点，则该极点的留数为 若X(z)z k-1在z = p处有一阶极点，则该极点的留数为 解： 例： ,用留数法求x[k]。 X(z)z k-1在z=1, z=-0.5有两个一阶极点，其留数为 =[1+(-0.5)k]u[k] 1) z变换与拉普拉斯变换的关系。 2) 双、单边z变换的定义与适用范围： 双边适用于离散系统综合设计 单边大多用于离散系统的分析 3) z域分析与其他域分析方法相同， z变换的性质类似于其他变换。 时域差分方程 时域响应y[k] z域响应Y(z) z变换 z反变换 解差分方程 解代数方程 z域代数方程 对差分方程两边做z变换，利用 初始状态为y[-1], y[-2] Yzi(z) Yzs (z) 解： 例：某离散LTI系统满足 y[k]-4y[k-1]+4y[k-2] = 4x[k] 已知y[-1]=0 ，y[-2]=2， x[k]=(-3)k u[k]，由z域求 yzi [k]、yzs [k]、y[k]。 Y(z)-4{z-1Y(z)-y[-1]}+4{z-2Y(z)+z-1y[-1]+y[-2]}=4X(z) Yzi(z) Yzs(z) 将差分方程两边进行单边z变换得 求解此代数方程可得系统完全响应的z域表示式 解： yzs[k]=Z-1{Yzs(z)}=[1.6(k+1)(2)k+0.96(2)k+1.44(-3)k]u[k] y[k]=yzi[k]+yzs[k] 例：某离散LTI系统满足 y[k]-4y[k-1]+4y[k-2] = 4x[k] 已知y[-1]=0 ，y[-2]=2， x[k]=(-3)k u[k]，由z域求 yzi [k]、yzs [k]、y[k]。 = -6.4k(2)k-5.44(2)k+1.44(-3)k k?0 解： 令k=k-2 例： 已知一LTI离散系统满足差分方程 由z域求系统零输入响应，零状态响应和完全响z应 对差分方程两边做z变换 * *