解析几何上课最终版.docVIP

第一步轨迹方程的问题 1、在平面直角坐标系中，已知向量（），，动点的轨迹为T．求轨迹T的方程,并说明该方程表示的曲线的形状； 解：∵ ∴ 得 即 当时，方程表示两条与x轴平行的直线； 当时，方程表示以原点为圆心，4为半径的圆； 当且时，方程表示椭圆； 当时，方程表示双曲线. 变式：分别是椭圆的左右两个顶点， 为椭圆上的动点.为过且垂直于轴的直线上的点，若，求点的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线． 解：，其中．由已知及点在椭圆上可得， 整理得，其中． ①当时，化简得所以点的轨迹方程为，轨迹是两条平行于轴的线段时，方程变形为，其中当时，点的轨迹为中心在原点、实轴在轴上的双曲线满足的部分当时，点的轨迹为中心在原点、长轴在轴上的椭圆满足的部分； 当时，点的轨迹为中心在原点、长轴在轴上的椭圆恰好被面积最小的圆及其内部所覆盖．试求圆的方程. 解:由题意知此平面区域表示的是以构成的三角形及其内部,且△是直角三角形, 所以覆盖它的且面积最小的圆是其外接圆,故圆心是(2,1),半径是, 所以圆的方程是. 变式：在平面区域内作圆，其中面积最大的圆记为，求的轨迹方程 解析： 3、如图所示，已知圆C：，定点，为圆上一动点，点在上，点在上，且满足，求点的轨迹； 解. （Ⅰ）∴NP为AM的垂直平分线，∴|NA|=|MN| 又∵|CN|+|MN|=，∴|CN|+|AN|=2∴动点N的轨迹是以点C（-1，0），A（1，0）为焦点的椭圆，且长轴长，焦距2c=2∴，∴曲线E的方程为的坐标分别是，直线相交于点，且它们的斜率之积是，求点的轨迹方程。 已知椭圆直线，椭圆上是否存在一点，它到直线的距离最小，最小距离是多少？ 类型一：定值问题 1、（16）已知离心率为的椭圆的顶点恰好是双曲线的左右焦点，点是椭圆上不同于的任意一点，设直线的斜率分别为. 试判断的值是否与点的位置有关，并证明你的结论； 解析：设则，即 . 所以的值与点的位置无关，恒为。 2、椭圆上任一点到两个焦点的距离的和为6，焦距为，分别是椭圆的左右顶点.若与均不重合，设直线与的斜率分别为，证明：为定值； 解析：设，，则，即， 则，， 即，∴为定值设分别是椭圆：的左右焦点设点是椭圆上的任意一点，过原点的直线与椭圆相交于，两点，当直线 ， 的斜率都存在，并记为?，试探究的值是否与点及直线有关，证明你的结论。过原点的直线L与椭圆相交的两点M，N关于坐标原点对称 设 在椭圆上，应满足椭圆方程，得 ==故：的值与点P的位置无关，同时与直线L无关左、右焦点分别为、 .点为直线上且不在轴上的任意一点，设直线、的斜线分别为、. 证明：； 解析：设点P（，），则=，=，因为点不在轴上，所以，又=2，所以=，因此结论成立。 5、已知椭圆两焦点、在轴上，短轴长为，离心率为，是椭圆在第一象限弧上一点，且，过P作关于直线F1P对称的两条直线PA、PB分别交椭圆于A、B两点。 （1）求P点坐标； （2）求证直线AB的斜率为定值； 解析：（1）设椭圆方程为，由题意可得，方程为 ，设 则 点在曲线上，则 从而，得，则点的坐标为 （2）由（1）知轴，直线PA、PB斜率互为相反数， 设PB斜率为，则PB的直线方程为： 由得 设则 同理可得，则 所以：AB的斜率为定值 6、设经过点的任意一条直线与相交于、，试证明在轴上存在一个定点，使的值是常数． 解析：当直线不与轴垂直时，设其方程为，由， 得，从而，， 设，则 ， 当，时，对，； 当轴时，直线的方程为，， 对，，即存在轴上的点，使的值为常数 类型二、最值问题 一、切线法 1、求椭圆上上的点到直线的距离的最大值和最小值。 ， 动点在抛物线上，则点到直线的距离最小时，的坐标为_________ 二、定义法 1、已知椭圆，分别是椭圆的左右焦点，点是椭圆上的一点， （1）、若有一点，求的最大值和最小值， （2）、若有一点，求的最大值 2、已知点是双曲线的左焦点，定点，点为双曲线右支上动点，求的最小值 3、已知以原点为中心的双曲线经过点，其渐近线方程为． （Ⅰ）求该双曲线的方程； （Ⅱ）如图，点的坐标为，是圆上的点，点在双曲线右支上，求的最小值 4、设是抛物线上的一个动点，是焦点 （1）求点到点的距离与点到直线的距离之和的最小值 （2）若点的坐标是求的最小值 挑战高考题 1、设圆C与两圆中的一个内切，另一个外切. （1）求C的圆心轨迹L的方程. （2）已知点且P为L上动点，求的最大值及 此时点P的坐标 2、在平面直角坐标系上，：交轴于点．设是上一点，是线段的垂直平分线上一点，且满足． （1）点上运动时，求点的轨迹的方程； （2），设是上动点，求的最小值，并给出此时点的坐标；、