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作 业 第二章：2-1，2-3，2-4，2.5，2.6 第三章：3-1，3-2，3-3，3-5 传递函数 系统的零点和极点 （稳定）系统的阶跃响应和动（瞬）态性能 阶跃函数 式中A为常量。 单位阶跃函数及其拉氏变换 斜坡函数 式中A为常量。 因为 ，所以又称等（匀）速度函数。 单位斜坡函数及其拉氏变换 一阶系统的时域分析 典型二阶系统是一个前向通道为惯性环节和积分环节串联的单位负反馈系统。 令 则二阶系统传递函数的标准形式为 其中ζ 称为阻尼比，τ 为时间常数，ωn 为系统的自然振荡角频率（无阻尼自振角频率）。 注意： 控制工程中，二阶系统的典型应用极为普遍； 为数众多的高阶系统在一定条件下可近似为二阶系统。 例3-3：设一个带速度反馈的伺服系统，其结构图如图所示。要求系统的性能指标为σp=20%, tp=1s.试确定系统的K和KA值，并计算性能指标tr、ts和N. 讨论: (1)欠阻尼情况下，二阶系统的单位阶跃响应是衰减的正弦振荡曲线。衰减速度取决于特征根实部的绝对值 ζωn的大小，振荡角频率是特征根虚部的绝对值，即有阻尼自振角频率ωd， (2)振荡周期为 (3)ζ越大，振幅衰减越快，振荡周期越长（频率越低）。 (4)上升时间tr的计算： 或 即 所以 (5)峰值时间tp的计算： 出现峰值时，阶跃响应随时间的变化率为0，即 则 故 到达第一个峰值时应有 (6)最大超调量的计算： 越小， 越大（只与ζ有关） (7)调整时间ts的计算： 欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应曲线位于一对曲线 以内，这对曲线称为响应曲线 的包络线。 可以采用包络线代替实际响应曲线估算调整时间，所得结果一般略偏大。 解得 当Δ＝5％时， 当Δ＝2％时， 当 时， 设计二阶系统时，常取 为最佳阻尼比。 若允许误差带是±Δ（如±2％），可以认为调整时间就是包络线衰减到± Δ区域所需的时间，则有 设计二阶系统时，可先由超调量确定阻尼比，再由其他指标（如调整时间）和已确定的阻尼比给出自然振荡角频率。 欠阻尼二阶系统单位阶跃响应性能指标计算公式 闭环传递函数为： 得 几点结论: 1）二阶系统的阻尼比ζ决定了其振荡特性： ζ 0 时，阶跃响应发散，系统不稳定（负阻尼） ζ= 0时，出现等幅振荡 0ζ1时，有振荡，ζ愈小，振荡愈严重，但响应愈快 ζ≥1 时，无振荡、无超调，过渡（调整）过程长 2）ζ一定时，ωn越大，瞬态响应分量衰减越迅速，?系统能够更快达到稳态值，响应的快速性越好。 3）工程中除了一些不允许产生振荡的应用，如指示和记录仪表系统等，通常采用欠阻尼系统，且阻尼比通常选择在0.4~0.8之间，以保证系统的快速性同时又不至于产生过大的振荡。 4) 最佳阻尼比为0.707（这时的调整时间小，而且超调量也不大） 负反馈放大器 AOL是开环的放大器的传递函数。显然，从input 到 output 的闭环传递函数为 负反馈放大器 假设开环放大器有两个极点： 那么 显然， 只改变终值，而对瞬态特性无任何影响。 与标准形式比较 可得： 当βA0 足够大时，闭环系统（负反馈放大器）有一对共轭复根： 所以， 这里我们假设 0ζ1. 这里，有阻尼自振角频率等于 output 为 显然，衰减速度ωnζ由放大器的时间常数决定，而与反馈无关。 但是，阻尼自振角频率ωd与βA0 有关 调节β可以使得闭环平稳快速的进入稳态区域。 时间单位为 单位阶跃响应 * 对下面的线性微分方程做拉氏变换（设初始值均为零） 可得： 令： 则： G(s) 被称为传递函数，描述系统的输入和输出的关系。 G y(t) u(t) 考虑下面的传递函数： ?1, ?2,…, ?m ：零点 ?1, ?2, …,?n ：极点 ：相对阶 系统是输入输出稳定的当且仅当?1, ?2, …,?n 的实部均为负。 Q: RLC电路是否稳定? 具有下面的性质： 如果一个传递函数 H(s) 是稳定的且相对阶 ，那么它的拉氏逆变换 例如： 显然： 极点严重影响着系统的性能！ 利用终值定理，有 当输入信号为 时，系统的输出 的稳态值 称为单位阶跃响应。 例如，对RLC电路，当输入电压 为1伏特时，一段时间以后，电容两端的电压 也为1伏特。 图4-2 RLC无源网络 但是，在这之前 uo(t) 是如何变化的呢？（瞬态响应） 典型输入信号 3. 抛物线函数 式中A为常量。 因为 ，所