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实验三 一元函数积分学 实验目的：加深理解定积分的概念，深入理解积分理论中分割、近似、求和、取极限的思想方法，初步了解定积分的近似计算方法 定积分的概念 由定义计算定积分 在定积分的定义中，划分积分区间的方法与在每个小区间上取的点 都是任意的，如果当分划的每个小区间长度的最大值 趋于0时，它的黎曼和存在极限，此极限值即为我们所定义的一个函数在一个指定区间上的定积分。 实验1 利用定义计算积分 下面的程序在区间[0,1]中插入n-1个分点（可以均匀的产生，也可以借助随机数产生），在一定意义下取得了任意分点与任意的 计算 即可求得 的近似值 提高精度的方法是增加分点。 实验1 利用定义计算积分 Clear[f,x]; f[x_]:=x^2; a=0;b=1;n=20; Array[x,{641}];x[0]=a; For[k=1,k=6,k++,x[n]=b;s=0; Do[x[i]=(i+Random[ ])*(b-a)/n,{i,1,n-1}]; For[i=0,in,i++,delxi=x[i+1]-x[i]; c=x[i]+delxi*Random[]; s=s+f[c]*delxi]; Print[n=,n, s=,s]; n=n*2] 实验1 利用定义计算积分 由于分割的任意性及 的任意性，即使n固定，每次运行所得的结果也可能不同 相同的n计算多次时数据都不完全相同，但它们之间的差异不大。 练习1 利用定义计算 从图形观察积分和与定积分的关系 定积分 在几何上表示由曲线y=f(x)，直线x=a,x=b及x轴所围成的曲边梯形的面积 积分和 在几何上表示n个小矩形的面积和，其中第i个小矩形的高为 ，宽为 实验2 从图形上观察 的积分和与定积分的关系 从图形观察积分和与定积分的关系 解 设曲边梯形由y=sinx，y=0，x=Pi/2为界。 采用分划的方法，用小区间上矩形的面积来逼近曲边梯形的面积。 当分划越来越细时，得到的小矩形面积之和与曲边梯形的面积S之间的差越来越小。当每个小区间缩向一点时，误差的极限为0 Clear[i,n,a,b];Clear[f,c,d,x,s]; regularpartition[a_,b_,n_]:=P=Block[{i},Table[N[a+(b-a)*i/n],{i,0,n}]]; randompartition[a_,b_,n_]:=P=Union[Table[Random[Real,{N[a],N[b]}],{n-1}],{N[a],N[b]}]; s[f_,c_,d_,x_,choice_]:=If[c=x=d,f[(1-choice)*c+choice*d],0]; riemann[f_,a_,b_,n_,choice_]:=N[(b-a)*Sum[f[(1-choice)*(a+(i-1)*(b-a)/n)+choice*(a+i (b-a)/n)],{i,1,n}]/n]; arbitraryriemann[f_,P_,choice_]:=Block[{i},Sum[(Union[N[P]][[i+1]]-Union[N[P]][[i]])*f[(1-choice)*Union[N[P]][[i]]+choice*Union[N[P]][[i+1]]],{i,1,Length[P]-1}]]; er[f_,a_,b_,n_,choice_]:=Abs[NIntegrate[f[x],{x,a,b}]-riemann[f,a,b,b,choice]]; ear[f_,P_,choice_]:=Block[{x},Abs[NIntegrate[f[x],{x,Min[N[P]],Max[N[P]]}]-arbitraryriemann[f,P,choice]]]; viewapprox[f_,P_,choice_]:=(one=Block[{x},Plot[f[x],{x,Min[N[P]]-0.1,Max[N[P]]+0.1},DisplayFunction-Identity]]; two=Block[{i,x},Plot[Release[Table[s[f,Union[N[P]][[i]],Union[N[P]][[i+1]],x,choice],{i,Length[P]-1}]],{x,Min[N[P]]-0.1,Max[N[P]]+0.1},PlotRange-A