定积分的习题集 课件.pptVIP

* 一、主要内容 1、定积分的定义 第九章 定积分 习题课 定积分是个数，与被积函数在有限个点处的定义无关； 与积分变量记号的选择无关。 （2） 利用牛顿-莱布尼兹公式。 2、定积分的计算 在已知定积分存在的前提下，可用下面两种方法求出其值： 3、定积分的几何意义 ——面积的代数和。 4、定积分的性质 线性、 关于积分区间的可加性、 估值不等式、 积分第一、第二中值定理。 5、定积分与不定积分的联系 （1）变上限积分的导数公式； 保号性、 （2）牛-莱公式。 （3）可积函数不一定有原函数，有原函数的函数不一定可积。 因为“含有第一类间断点的函数”都没有原函数， 而“含有有限个第一类间断点的函数”都可积。 所以可积函数不一定有原函数。 即说明有原函数的函数不一定可积。 6、可积条件 必要条件 若函数f在[a,b]上可积，则f在[a,b]上必定有界。 充要条件（1） 函数f在[a,b]可积当且仅当： 使得属于T的所有小区间中， 充要条件（2） 函数f在[a,b]可积当且仅当： 对应于振幅 的那些小区间 的总长 7、可积函数类 1、在[a,b]上连续的函数在[a,b]可积。 2、在[a,b]上只有有限个间断点的有界函数在 [a,b]上可积。 3、在 [a,b]上单调的有界函数在[a,b]上可积。 （允许有无限多个间断点） 但并非可积函数只有这3类。如：黎曼函数不属于这3类的任何一类，但它是可积的。 在[a,b]上函数的间断点形成收敛的数列，则函数在[a,b]可积。 8、利用不定积分计算定积分 （1）线性； 恒等变形； 换元； 分部积分； 一些特殊类型函数的积分。 （2）与不定积分法的差别 （3）利用对称性、周期性及几何意义。 ——牛-莱公式 积分限的确定，换元要换积分限，原函数求出后不需回代。 （4） 开偶次方时，要带绝对值。 9、杂记 （1）定积分可用于计算某类特殊数列的极限。 （2） 对D(x)和R(x) 的可积问题多一些关注。 例1 解 二、典型例题 例2 问：f(x)在[a,b]是否可积？ 解 例3 在[0,1]是否可积？ 解 例4 解 例5 解 是偶函数, 例6 证 考察 例7 证 例8 解 该极限可以看作函数f(x)=x2-1在[0，1]区间作n等分且取右端点时的黎曼和的极限， 由于f(x)=x2-1在[0，1]连续，从而可积，故上述极限等于 例9 证 证毕。 证 令 例11 解 例12 计算 解 例13 例14 例15 解 例16 解 例17 解 * * * * *