大一高等数学第九章第五节含参变量积分.pptVIP

一、含参变量积分的连续性 二、含参变量的函数的微分 三、莱布尼茨公式 四、小结 是变量 在 上的一个一元连续函数, 设函数 是在矩形 上的连续函数. 在 上任意确定 的一个值, 于是 从而积分 存在, 这个积分的值依赖于取 定的 值. 当 的值改变时,一般来说这个积分的值也 跟着改变. 这个积分确定一个定义在 上的 的函 数, 我们把它记作 即 定理1 如果函数 在矩形 上连续，那么由积分 确定的函数 在 上也连续. 证 设 和 是 上的两点，则 这里变量 在积分过程中是一个常量，通常称它为参变量. 由于 在闭区域 上连续，从而一致连续. 因此对于任意取定的 ,存在 ,使得对于 内的任意两点 及 ,只要它们之间的距离小于 ,即 就有 因为点 与 的距离等于 ,所以当 时,就有 于是由（1）式有 所以 在 上连续. 定理得证 注 既然函数 在 上连续,那么它在 上的积分存在,这个积分可以写为 右端积分式函数 先对 后对 的二次积分. 定理2 如果函数 在矩形 上连续,则 公式（2）也可写成 我们在实际中还会遇到对于参变量 的不同的值，积分限也不同的情形，这时积分限也是参变量 的函数.这样,积分 也是参变量 的函数.下面我们考虑这种更为广泛地依赖于参变量的积分的某些性质. 定理3 如果函数 在矩形 上连续，又函数 与 在区间 上连续， 并且 则由积分（3）确定的函数 在 上也连续. 证 设 和 是 上的两点，则 当 时，上式右端最后一个积分的积分限不变， 根据证明定理1时同样的理由，这个积分趋于零.又 其中 是 在矩形 上的最大值. 根据 与 在 上连续的假定，由以上两式可见， 当 时，（4）式右端的前两个积分都趋于零. 于是，当 时， 所以函数 在 上连续. 定理得证 下面考虑由积分(*)确定的函数 的微分问题. 定理4 如果函数 及其偏导数 都在 矩形 上连续,那么由积分(1)确定的函数 在 上可微分,并且 证 因为 为了求 ，先利用公式(1)作出增量之比 由拉格朗日中值定理，以及 的一致连续性，我们有 其中 ， 可小于任意给定的正数 ，只要 小于某个正数 . 因此 这就是说 综上所述有 令 取上式的极限，即得公式（5）. 定理5 如果函数 及其偏导数 都在 则由积分(3)确定的函数 在 上可微，并且 矩形上 连续，又函数 与 在区间 上可微，并且 证 由(4)式有 当 时，上式右端的第一个积分的积分限不变，则 对于(8)右端的第二项，应用积分中值定理得 其中 在 与 之间. 当 时, 类似地可证,当 时, 因此，令 ，取(8)式的极限便得公式(7). 公式(7)称为莱布尼茨公式. 于是 应用莱布尼茨公式，得 例1 设 求 解 例2 求 解 这里