含参量积分的分析性质及其应用.doc

含参量积分的分析性质及其应用 班级：11数学与应用数学一班 成绩： 日期： 2012年11月5日 含参量积分的分析性质及其应用 1. 含参量正常积分的分析性质及应用 1.1含参量正常积分的连续性 定理1 若二元函数在矩形区域上连续,则函数=在[a,b]上连续. 例1 设（这个函数在x=y时不连续）,试证由含量积分所确定的函数在 上连续. 解 因为,所以当y0时,x-y0,则sgn(x-y)=1,即f(x,y)=1. -1,xy 则.当时, f(x,y)= 0,x=y, 1,xy 则 1, y0 当y1时, f(x,y)=-1,则,即F(x)= 1-2y,0y0 -1 y1 又因F(y)在y=0与y=1处均连续,因而F(y)在上连续. 例2 求下列极限：（1）; (2). 解 （1）因为二元函数在矩形域R=[-1,1][-1.1]上连续,则由连续性定理得在[-1,1]上连续.则 . （2）因为二元函数在矩形域 上连续,由连续性定理得,函数在上连续.则 例3 研究函数的连续性,其中f（x）在闭区间[0,1]上是正的连续函数. 解 对任意,取,使,于是被积函数在上连续,根据含参量正常积分的连续性定理,则F（y）在区间上连续,由的任意性知,F（y）在上连续.又因,则F（y）在上连续.当y=0处.由于为[0,1]上的正值连续函数,则存在最小值m0. ,从而,但 F(y)在y=0处不连续,所以F（y）在上连续,在y=0处不连续. 定理2 设二元函数f(x,y)在区域G={(x,y)|}上连续,其中c(x),d(x)为[a,b]上的连续函数,则函数 F(x,y)= 在[a,b]上连续. 例4 求. 解 记.由于都是和x的连续函数,由定理2知在处连续,所以. 例5 证明函数在上连续. 证明 对,令x-y=t,可推得 . 对于含多量正常积分,由连续性定理可得在上连续,则在上连续. 1.2含参量正常积分的可微性 定理3 若函数与其偏导数都在矩形区域R=[a,b]*[c,d]上连续,则=在[a,b]上可微,且. 定理4 设,在R=[a,b]*[p,q]上连续,c,d为定义在[a,b]上其值含于[p,q]內的可微函数,则函数F=在[a,b]上可微,且 定理5 若函数及都在[a,b;c,d]上连续,同时在[c,d]上及皆存在,并且a≤a(y)≤b,a≤b(y)≤b (c≤y≤d),则 . 证明 考虑函数F(y)在[c,d]上任何一点处得导数,由于 . 现在分别考虑在点处得导数.由定理5可得 . 由于,所以 . 应用积分中值定理.这里在和之间.再注意到的连续性及b(y)的可微性,于是得到 . 同样可以证明 于是定理得证. 例6 设求. 解 应用定理5有 . 例7 设在的某个邻域U上连续,验证当时,函数 （1） 的n阶导数存在,且 解 由于（1）中被积函数及其偏导数在U上连续,于是由定理4可得 同理 如此继续下去,求得k阶导数为 特别当时有 于是 例8 计算积分. 解 考虑含参量积分 显然且函数在R=[0,1][0,1]上满足定理3的条件, 于是 . 因为 所以 因此 . 另一方面 所以 1.3含参量正常积分的可积性 定理6 若f在矩形区域R=×上连续,则和分别在和上可积.其中=dy,x,=dy. 这就是说：在f连续性假设下,同时存在求积顺序不同的积分：与,简便记为与,前者表示f先对y求积然后对x求积,后者则表示先对x求积再对y求积.它们统称为累次积分或更确切地称为二次积分. 由可积性的定理进一步指出,在f连续性假设下,累次积分与求积顺序无关,即若f在矩形区域R=×上连续,则 =. 定理7 若f在矩形区域R=×上连续,g在上可积,则作为的函数在上连续,且 =. 注意 推论中闭区间可以换成开区间或无穷区间,因为可积性定理是由连续性推得的,连续性是局部性质. 例9 求I= （ba0）. 解 由得I==,因为在矩形区域上连续,由定理可得I===ln. 例10 试求累次积分与,