空间向量解答题.docVIP

15.在棱长为1的正方体中ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别为DD1、BD的中点，G在CD上，且CG＝CD/4，H为C1G的中点， ⑴求证：EF⊥B1C； ⑵求EF与C1G所成角的余弦值； ⑶求FH的长。 在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是一直角梯形，∠BAD＝90°，AD∥BC，AB＝BC＝a，AD＝2a，且PA⊥底面ABCD，PD与底面成30°（PD和其在底面上的射影所成的角）。 ⑴若AE⊥PD，垂足为E，求证：BE⊥PD； ⑵求异面直线AE与CD所成角的大小。 17.正三棱柱的所有棱长均为２，Ｐ是侧棱上任意一点． （Ⅰ）求证： 直线不可能与平面垂直； （II）当时，求二面角的大小． 18．如图，在四棱锥中，底面ABCD是正方形，侧棱底面ABCD， ，E是PC的中点，作交PB于点F. （1）证明 平面； （2）证明平面EFD； （3）求二面角的大小． 19．（14分）如图，直三棱柱ABC—A1B1C1中，底面是等腰直角三角形，∠ACB=90°，侧棱AA1=2，D、E分别是CC1与A1B的中点，点E在平面ABD上的射影是△ABD的垂心G. （1）求A1B与平面ABD所成角的余弦值。 （2）求点A1到平面AED的距离. 20．如图，正四棱柱中，底面边长为2，侧棱长为3，E为BC的中点，FG分别为、上的点，且CF=2GD=2.求： （1）到面EFG的距离； （2）DA与面EFG所成的角； （3）在直线上是否存在点P，使得DP//面EFG?,若 存在，找出点P的位置，若不存在，试说明理由。 参考答案 一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C B B C D A D C 二、填空题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 9． 10． 11． 12．0 13. =++ 14. [1,5] 三、解答题（本大题共6小题，总80分） 　15. （13分）　解：以D为坐标原点，建立如图 所示空间直角坐标系D－xyz，由题意知E(0,0,1/2), F(1/2,1/2,0),C(0,1,0),B1(1,1,1),C1(0,1,1), G(0,3/4,0), ⑴ 即EF⊥B1C ⑵ 由⑴知 ，故EF与C1G所成角的余弦值为。 ⑶∵H为C1G的中点，∴H(0,7/8.1/2),又F(1/2,1/2,0) 即FH＝ 16. （13分）解：以A为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系A－xyz，由题意知A(0,0,0),B(a,0,0),C(a,a,0),D(0,2a,0) ⑴证明：∵PD在底面上的射影是DA， 且PD与底面成30°，∴∠PDA＝30°， ∵AE⊥PD， ， 即BE⊥PD。 ⑵解：由⑴知 又， ∴异面直线AE与CD所成角的大小为arccos 17. （13分）证明：（Ⅰ）如图建立空间坐标系， 设则的坐标分别 为 ， 不垂直直线不可能与 平面垂直．…………7分 （II），由，得 即 又　 是面的法向量设面的法向量为， 由得,设二面角的大小为 则二面角的大小为．…13分 18．（13分）解：如图所示建立空间直角坐标系，D为坐标原点.设 (1)证明：连结AC，AC交BD于G.连结EG. 依题意得 底面ABCD是正方形， 是此正方形的中心， 故点G的坐标为且 . 这表明. 而平面EDB且平面EDB，平面EDB。 (2)证明：依题意得。 又故 , 由已知，且所以平面EFD. (3)解：设点F的坐标为则 从而所以 由条件知，即 解得 。 点F的坐标为 且 ,即，故是二面角的平面角. ∵且 ,所以，二面角C—PC—D的大小为 19．(14分) 解：（1）连结BG，则BG是BE在面ABD的射影，即∠A1BG是A1B与平面ABD所成的角. 如图所示建立坐标系，坐标原点为O，设CA=2a， 则A（2a，0，0），B（0，2a，0），D（0，0，1） A1（2a，0，2） E（a，a，1） G（）. ， ，解得a=1. .A1B与平面ABD所成角是. （2）由（1）有A（2，0，0），A1（2，0，2），E（1，1，1），D（0，0，1） 平面AA1E，又ED平面AED. ∴平面AED⊥平面AA1E，又面AED面AA1E=AE， ∴点A在平面AED的射影K在AE上. 设， 则 由，即， 解得. ,即即点A1到平面AED的距离为. 20（14分）解：如图，以D为原点建立空间直角坐标系 1分 则E(1，2，0)，F（0，2，2），G（0，0，1） ∴=（－1，0，2），=（0，－2，－1）， 设=（x，y，z）为面EFG的法向量，则 =0，=0，x=2z